Question

(2007北京宣武模擬)如下圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是一直角梯形，∠BAD=90°，AD∥BC，AB=BC=a，AD=2a，PA⊥底面ABCD，PD與底面成30°角．

(1)若AE⊥PD，E為垂足，求證：BE⊥PD；

(2)在(1)的條件下，求異面直線AE與CD所成角的余弦值；

(3)求平面PAB與平面PCD所成的二面角的正切值．

Answer 1

答案：略
解析：

解析：(1)如圖建立空間直角坐標系， 則A(0，0，0)，B(a，0，0)，，C(a，a，0)，D(0，2a，0)， ∴，， ∴，∴BE⊥PD． 則， ∴異面直線AE與CD所成角的余弦值為． (3)易知，CB⊥AB，CB⊥PA． 則CB⊥平面PAB． 又設(shè)平面PCD的一個法向量為 m=(x，y，z)， 則m⊥PC，m⊥CD． ∴由， 得∴ 則．∴tanθ=2． ∴平面PAB與平面PCD所成二面角的正切值為2．