Question

（1）求函數(shù)y=

x2-2x+1

x-2

  （x＜2）的最大值
（2）函數(shù)y=log_a^（x+3）（a＞0，a≠1）的圖象恒過定點(diǎn)A，若點(diǎn)A在直線mx+ny+1=0上，其中mn＞0，求

1

m

+

2

n

的最小值．

Answer 1

分析：（1）將函數(shù)y=

x2-2x+1

x-2

進(jìn)行化簡變形成y=-[（2-x）+

1

2-x

]+2，然后利用基本不等式即可求出所求，注意等號(hào)成立的條件；
（2）先根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求出定點(diǎn)A的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)A在直線mx+ny+1=0上，可得m，n的等量關(guān)系，利用“1”的代換，以及基本不等式可求出所求．

解答：解：（1）∵x＜2，
∴2-x＞0，
∴y=

x2-2x+1

x-2

=

(x-2)2+2(x-2)+1

x-2

=-[（2-x）+

1

2-x

]+2≤-2

(2-x)× 1 2-x

+2=0，
當(dāng)且僅當(dāng)2-x=

1

2-x

，即x=1時(shí)取等號(hào)，
∴函數(shù)y=

x2-2x+1

x-2

  （x＜2）的最大值為0；
（2）∵函數(shù)y=log_a^（x+3）（a＞0，a≠1）的圖象恒過定點(diǎn)A，
∴A（-2，-1），
又∵點(diǎn)A在直線mx+ny+1=0上，
∴-2m-n+1=0，即2m+n=1，
又∵mn＞0，
∴

1

m

+

2

n

=

2m+n

m

+

4m+2n

n

=2+

n

m

+

4m

n

+2≥4+2•

n m • 4m n

=8，
當(dāng)且僅當(dāng)m=

1

4

，n=

1

2

時(shí)取等號(hào)，
∴

1

m

+

2

n

的最小值為8．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了基本不等式在最值問題中的應(yīng)用．在應(yīng)用基本不等式求最值時(shí)要注意“一正、二定、三相等”的判斷．運(yùn)用基本不等式解題的關(guān)鍵是尋找和為定值或者是積為定值，難點(diǎn)在于如何合理正確的構(gòu)造出定值．屬于中檔題．