Question

（2007•東城區(qū)一模）已知函數(shù)f(x)=|1-

1

x

|，（x＞0）．
（Ⅰ）當0＜a＜b，且f（a）=f（b）時，求證：ab＞1；
（Ⅱ）是否存在實數(shù)a，b（a＜b），使得函數(shù)y=f（x）的定義域、值域都是[a，b]，若存在，則求出a，b的值，若不存在，請說明理由．
（Ⅲ）若存在實數(shù)a，b（a＜b），使得函數(shù)y=f（x）的定義域為[a，b]時，值域為[ma，mb]（m≠0），求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）確定函數(shù)解析式，利用函數(shù)的單調(diào)性，可得

1

a

+

1

b

=2，利用基本不等式，即可得出結(jié)論；
（II）分類討論，若存在滿足條件的實數(shù)a，b，使得函數(shù)y=f(x)=|1-

1

x

|的定義域、值域都是[a，b]，從而可得結(jié)論；
（III）分類討論，若存在實數(shù)a，b（a＜b），使得函數(shù)y=f（x）的定義域為[a，b]時，值域為[ma，mb]，即可得出結(jié)論．

解答：（I）證明：∵x＞0，∴f(x)=

1- 1 x ，x≥1 1 x -1，0＜x＜1.

∴f（x）在（0，1）上為減函數(shù)，在（1，+∞）上是增函數(shù)．
由0＜a＜b，且f（a）=f（b），可得 0＜a＜1＜b和

1

a

-1=1-

1

b

，即

1

a

+

1

b

=2．
∴2ab=a+b＞2

ab

．…（3分）
故

ab

＞1，即ab＞1．…（4分）
（II）解：不存在滿足條件的實數(shù)a，b．
若存在滿足條件的實數(shù)a，b，使得函數(shù)y=f(x)=|1-

1

x

|的定義域、值域都是[a，b]，
則a＞0，f(x)=

1- 1 x ，x≥1 1 x -1，0＜x＜1.

①當a，b∈（0，1）時，f(x)=

1

x

-1在（0，1）上為減函數(shù)．
故

f(a)=b f(b)=a.

，即

1 a -1=b 1 b -1=a.

，解得a=b．
故此時不存在適合條件的實數(shù)a，b．…（6分）
②當a，b∈[1，+∞）時，f(x)=1-

1

x

在（1，+∞）上是增函數(shù)．
故

f(a)=a f(b)=b.

，即

1- 1 a =a 1- 1 b =b.

此時a，b是方程x²-x+1=0的根，此方程無實根．
故此時不存在適合條件的實數(shù)a，b．…（8分）
③當a∈（0，1），b∈[1，+∞）時，由于1∈[a，b]，而f（1）=0∉[a，b]，
故此時不存在適合條件的實數(shù)a，b．
綜上可知，不存在適合條件的實數(shù)a，b．…（10分）
（III）若存在實數(shù)a，b（a＜b），使得函數(shù)y=f（x）的定義域為[a，b]時，值域為[ma，mb]．
則a＞0，m＞0．
①當a，b∈（0，1）時，由于f（x）在（0，1）上是減函數(shù)，故

1 a -1=mb 1 b -1=ma.

．
此時刻得a，b異號，不符合題意，所以a，b不存在．
②當a∈（0，1）或b∈[1，+∞）時，由（ II）知0在值域內(nèi)，值域不可能是[ma，mb]，所以a，b不存在．
故只有a，b∈[1，+∞）．
∵f(x)=|1-

1

x

|在[1，+∞）上是增函數(shù)，
∴

f(a)=ma f(b)=mb.

，即

1- 1 a =ma 1- 1 b =mb.

∴a，b是方程mx²-x+1=0的兩個根，即關(guān)于x的方程mx²-x+1=0有兩個大于1的實根．…（12分）
設(shè)這兩個根為x₁，x₂，則x₁+x₂=

1

m

，x₁•x₂=

1

m

．
∴

△＞0 (x1-1)+(x2-1)＞0 (x1-1)(x2-1)＞0.

，即

1-4m＞0 1 m -2＞0.

解得0＜m＜

1

4

．
故m的取值范圍是0＜m＜

1

4

．…（14分）

點評：本題考查函數(shù)解析式的運用，考查基本不等式，考查分類討論的數(shù)學思想，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．