Question

（2013•成都一模）在數(shù)列{a_n}中，a₁=2，a₂=4，且當(dāng)n≥2時(shí)，a

2 n

=an-1an+1，n∈N^*．
（I）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n
（II）若b_n=（2n-1）a_n，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和Sn
（III）是否存在正整數(shù)對（m，n），使等式

2 n

-man+4m=0成立？若存在，求出所有符合條件的（m，n）；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（I）由已知可得，數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，結(jié)合已知及等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可求
（II）由b_n=（2n-1）a_n=（2n-1）•2ⁿ，結(jié)合通項(xiàng)的特點(diǎn)考慮利用錯位相減求和
（III）假設(shè)存在正整數(shù)對（m，n），使得等式an2-man+4m=0，把已知a_n的通項(xiàng)代入可整理出m與n的關(guān)系式，結(jié)合基本不等式可求m的最小值，進(jìn)而可求

解答：解：（I）由已知可得，數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列
∵a₁=2，a₂=4
∴q=

a2

a1

=2
∴an=a1qn-1=2ⁿ
（II）∵b_n=（2n-1）a_n=（2n-1）•2ⁿ
∴Sn=1•2+3•22+5•23+…+(2n-1)•2n
 2S_n=1•2²+3•2³+…+（2n-3）•2ⁿ+（2n-1）•2ⁿ⁺¹
兩式相減可得，-Sn=2+2(22+23+…+2n)-(2n-1)•2n+1
=2-

8(1-2n)

1-2

-(2n-1)•2n+1
=-6+2^n-2-n•2ⁿ⁺²+2ⁿ⁺¹
∴Sn=(2n-3)•2n+1+6
（III）假設(shè)存在正整數(shù)對（m，n），使得等式an2-man+4m=0
∵an=2n
∴2²ⁿ=m（2ⁿ-4）成立
∵m∈N^*∴2ⁿ＞4
∴m=

22n

2n-4

=

22n-16+16

2n-4

=2n-4+

16

2n-4

+8≥16
當(dāng)且僅當(dāng)2ⁿ-4=4即n=3時(shí)取等號
∵2ⁿ＞4
∴

16

2n-4

∈N*
∴2ⁿ-4=1或2或8或16，此時(shí)均無解
故符合題意的正整數(shù)對只有（16，3）

點(diǎn)評：本題主要考查了等比數(shù)列的性質(zhì)及通項(xiàng)公式的應(yīng)用，數(shù)列的遞推公式的應(yīng)用，錯位相減求和方法的應(yīng)用及一定的邏輯推理與運(yùn)算的能力