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          設(shè)a1=1，a2=
          5
          3
          ，an+2=
          5
          3
          an+1-
          2
          3
          an，
          （1）求數(shù)列{an}的通項公式．
          （2）求數(shù)列{nan}的前n項的和．
          			
          


			
          

		
          
		
		
	
          
		
          
			
          
				
          
				
          分析：（1）把已知遞推式變形為an+2-
          2
          3
          an+1=an+1-
          2
          3
          an          ，遞推下去即可得出：當n≥2時，an-
          2
          3
          an-1=1          ，再變形為：an-3=
          2
          3
          (an-1-3)          ，利用等比數(shù)列的通項公式即可得出．
          （2）利用（1）和“錯位相減法”及其等比數(shù)列的前n項和公式即可得出．
          解答：解：（1）∵a1=1，a2=
          5
          3
          ，an+2=
          5
          3
          an+1-
          2
          3
          an，
          ∴an+2-
          2
          3
          an+1=an+1-
          2
          3
          an          =…=a2-
          2
          3
          a1          =
          5
          3
          -
          2
          3
          ×1          =1，
          ∴當n≥2時，an-
          2
          3
          an-1=1          ，
          ∴an-3=
          2
          3
          (an-1-3)          ，
          ∴數(shù)列{an-3}是首項為-2，公比為
          2
          3
          的等比數(shù)列．
          ∴an=(-2)×(
          2
          3
          )n-1+3          ．
          （2），由（1）知：nan=-2n(
          2
          3
          )n-1+3n          ，
          設(shè)數(shù)列{2n(
          2
          3
          )n-1          }的前n項和為：Tn=2[1+2×
          2
          3
          +3×(
          2
          3
          )2+…+n×(
          2
          3
          )n-1]          ，
          則
          2
          3
          Tn=2[1×
          2
          3
          +2×(
          2
          3
          )2+…+(n-1)×(
          2
          3
          )n-1+n×(
          2
          3
          )n]
          上兩式相減得：
          1
          3
          Tn=2[1+
          2
          3
          +(
          2
          3
          )2+          …+(
          2
          3
          )n-1-n×(
          2
          3
          )n]
          =2×[
          1-(
          2
          3
          )n
          1-
          2
          3
          -n×(
          2
          3
          )n]
          =6[1-(
          2
          3
          )n]-2n×(
          2
          3
          )n          ，
          ∴Tn=18[1-(
          2
          3
          )n]-6n×(
          2
          3
          )n          ，
          設(shè)所求數(shù)列{nan}的前n項和為Sn，
          ∴Sn=-18[1-(
          2
          3
          )n]          +6n×(
          2
          3
          )n+3×
          n(n+1)
          2
          =(18-6n)×(
          2
          3
          )n+
          3n2
          2
          +
          3n
          2
          -18          ．
          點評：正確理解遞推公式的含義和熟練變形利用等比數(shù)列的通項公式、及掌握“錯位相減法”及等比數(shù)列的前n項和公式等是解題的關(guān)鍵．
          				
          
							
          
			
          
			
          
			
			
          
		
          
	
          

		
          

		





			
          
		
          
		
				
          
				練習(xí)冊系列答案
		
          
		
				
			

					
          
				相關(guān)習(xí)題
			
          
						
		
          
			
          
				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：
				題型：
			
          

						
          精英家教網(wǎng)設(shè)集合W由滿足下列兩個條件的數(shù)列{an}構(gòu)成：
          ①
          an+an+22
          ＜an+1          ；②存在實數(shù)M，使an≤M．（ n為正整數(shù)）
          （Ⅰ）在只有5項的有限數(shù)列{an}、{bn}中，其中a1=1，a2=2，a3=3，a4=4，a5=5；b1=1，b2=4，b3=5，b4=4，b5=1，試判斷數(shù)列{an}、{bn}是否為集合W中的元素；
          （Ⅱ）設(shè){cn}是等差數(shù)列，Sn是其前n項和，c3=4，S3=18，證明數(shù)列{Sn}∈W；并寫出M的取值范圍；
          （Ⅲ）設(shè)數(shù)列{dn}∈W，且對滿足條件的常數(shù)M，存在正整數(shù)k，使dk=M．
          求證：dk+1＞dk+2＞dk+3．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：
				題型：
			
          

						
          21、對于每項均是正整數(shù)的數(shù)列A：a1，a2，…，an，定義變換T1，T1將數(shù)列A變換成數(shù)列T1（A）：n，a1-1，a2-1，…，an-1．
          對于每項均是非負整數(shù)的數(shù)列B：b1，b2，…，bm，定義變換T2，T2將數(shù)列B各項從大到小排列，然后去掉所有為零的項，得到數(shù)列T2（B）；
          又定義S（B）=2（b1+2b2+…+mbm）+b12+b22+…+bm2．設(shè)A0是每項均為正整數(shù)的有窮數(shù)列，令A(yù)k+1=T2（T1（Ak））（k=0，1，2，…）．
          （Ⅰ）如果數(shù)列A0為5，3，2，寫出數(shù)列A1，A2；
          （Ⅱ）對于每項均是正整數(shù)的有窮數(shù)列A，證明S（T1（A））=S（A）；
          （Ⅲ）證明：對于任意給定的每項均為正整數(shù)的有窮數(shù)列A0，存在正整數(shù)K，當k≥K時，S（Ak+1）=S（Ak）．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：
				題型：
			
          

						
          設(shè){an}是集合{2t+2s|0≤s＜t，且s，t∈z}中所有的數(shù)從小到大排列成的數(shù)列，即a1=3，a2=5，a3=6，a4=9，a5=10，a6=12，…將數(shù)列{an}各項按照上小下大，左小右大的原則寫成如圖的三角形數(shù)表：
          （1）寫出這個三角形數(shù)表的第四行、第五行；
          （2）求a100．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：
				題型：
			
          

						
          設(shè)數(shù)列{an}中，an+2=an+1-an，a1=2，a2=5，則a2013=
          2
          2
          ．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：
				題型：
			
          

						
          設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=1，a2=4，a3=9，an=an-1+an-2-an-3（n=4，5，…），則a2013=
           
          ．
          

			
          

			
          
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