Question

設(shè)雙曲線以橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為焦點(diǎn),且雙曲線的一條漸近線是，
(1)求雙曲線的方程；
(2)若直線與雙曲線交于不同兩點(diǎn),且都在以為圓心的圓上,求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

(1)；（2）

解析試題分析：（1）雙曲線和橢圓共焦點(diǎn)，故可設(shè)其方程為，且，，聯(lián)立解；（2）直線和圓錐曲線的位置關(guān)系問題，一般根據(jù)已知條件結(jié)合韋達(dá)定理列方程來確定參數(shù)的值或取值范圍，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/09/5/11dlk4.png" style="vertical-align:middle;" />在以為圓心的圓上，根據(jù)垂徑定理，連接圓心和弦的中點(diǎn)的直線必垂直于，∴將直線和雙曲線聯(lián)立，得關(guān)于的一元二次方程且，得關(guān)于的不等式，利用韋達(dá)定理確定弦的中點(diǎn)坐標(biāo)，利用列式，得關(guān)于的方程，與不等式聯(lián)立消去，得關(guān)于的不等式，解之可得.
試題解析：(1)依題雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為、，，又雙曲線的一條漸近線是，，雙曲線的方程為：；
(2)設(shè),,
由，消去整理得：，依題意得 (*)，設(shè)的中點(diǎn)為，則，
又點(diǎn)在直線上，,,兩點(diǎn)都在以為圓心的同一圓上,,即，，整理得，代人(*)式得：解得：或，
又,,故所求的取值范圍是.
考點(diǎn)：1、橢圓和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)；2、垂徑定理；3、韋達(dá)定理.