Question

（2013•鹽城一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）經(jīng)過點(diǎn)M（3

2

，

2

），橢圓的離心率e=

2 2

3

，F(xiàn)₁、F₂分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過點(diǎn)M作兩直線與橢圓C分別交于相異兩點(diǎn)A、B．
①若直線MA過坐標(biāo)原點(diǎn)O，試求△MAF₂外接圓的方程；
②若∠AMB的平分線與y軸平行，試探究直線AB的斜率是否為定值？若是，請(qǐng)給予證明；若不是，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用橢圓的離心率化簡方程，根據(jù)橢圓過點(diǎn)M（3

2

，

2

），即可求橢圓C的方程；
（2）①求得MA的中垂線方程、MF₂的中垂線方程，從而可得圓心與半徑，即可求△MAF₂外接圓的方程；
②直線與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，結(jié)合斜率公式，即可得到結(jié)論．

解答：解：（1）由橢圓的離心率e=

2 2

3

，可得a²=9b²，故橢圓方程為

x2

9b2

+

y2

b2

=1…（3分）
又橢圓過點(diǎn)M（3

2

，

2

），則

18

9b2

+

2

b2

=1，解得b²=4，
所以橢圓的方程為

x2

36

+

y2

4

=1…（5分）
（2）①記△MAF₂的外接圓的圓心為T．
因?yàn)?span id="uovawzs" class="MathJye">kOM=

1

3

，所以MA的中垂線方程為y=-3x+5

2

，
又由M（3

2

，

2

），F(xiàn)₂（4

2

，0），得MF₂的中點(diǎn)為(

7 2

2

，

2

2

)，
而kMF2=-1，
所以MF₂的中垂線方程為y=-3x，
由

y=-3x y=x-3 2

，得T（

3 2

4

，-

9 2

4

） …（8分）
所以圓T的半徑為

(4 2 - 3 2 4 )2+(0+ 9 2 4 )2

=

5 5

2

，
故△MAF₂的外接圓的方程為(x-

3 2

4

)2+(y+

9 2

4

)2=

125

4

…（10分）
②設(shè)直線MA的斜率為k，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．（x₂＞x₁）
由題直線MA與MB的斜率互為相反數(shù)，
∴直線MB的斜率為-k．
聯(lián)立直線MA與橢圓方程，可得（9k²+1）x²+18

2

k(1-3k)x+162k²-108k-18=0
∴x₁+x₂=-

18 2 k(1-3k)

9k2+1

，x2-x1=

36 2 k

9k2+1

…（13分）
又y2-y1=-k(x1+x2)+6

2

k=

12 2 k

9k2+1

∴kAB=

y2-y1

x2-x1

=

12 2 k 9k2+1

36 2 k 9k2+1

=

1

3

為定值…（16分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查三角形的外接圓，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．