Question

已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點O，焦點在x軸上，橢圓短半軸長為1，動點 在直線上。

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

（2）求以OM為直徑且被直線截得的弦長為2的圓的方程；

（3）設(shè)F是橢圓的右焦點，過點F作OM的垂線與以OM為直徑的圓交于點N，求證：線段ON的長為定值，并求出這個定值。

Answer 1

【解析】（1）又由點M在準(zhǔn)線上，得            

故，    從而                所以橢圓方程為                                   

（2）以O(shè)M為直徑的圓的方程為即                                

其圓心為,半徑                              

因為以O(shè)M為直徑的圓被直線截得的弦長為2

所以圓心到直線的距離       所以，解得所求圓的方程為                       

 （3）方法一：由平幾知：

直線OM：，直線FN：        由得

所以線段ON的長為定值。

方法二、設(shè)，則 

              

 又

所以，為定值