Question

已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，斜率為1且過(guò)橢圓右焦點(diǎn)F的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，

OA

+

OB

與

a

=（3，-1）共線．
（Ⅰ）求橢圓的離心率；
（Ⅱ）設(shè)M為橢圓上任意一點(diǎn)，且

OM

=λ

OA

+μ

OB

(λ，μ∈R)，證明λ²+μ²為定值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）直線與橢圓方程聯(lián)立用未達(dá)定理的A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系，據(jù)向量共線的條件得橢圓中a，b，c的關(guān)系，從而求得橢圓的離心率
（Ⅱ）用向量運(yùn)算將λμ用坐標(biāo)表示，再用坐標(biāo)的關(guān)系求出λ²+μ²的值．

解答：解：（1）設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，F(xiàn)(c，0)
則直線AB的方程為y=x-c，代入

x2

a2

+

y2

b2

=1，
化簡(jiǎn)得（a²+b²）x²-2a²cx+a²c²-a²b²=0．
令A(yù)（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x1+x2=

2a2c

a2+b2

，x1x2=

a2c2-a2b2

a2+b2

．
∵

OA

+

OB

=(x1+x2，y1+y2)，

a

=(3，-1)，

OA

+

OB

與

a

共線，
∴3（y₁+y₂）+（x₁+x₂）=0，又y₁=x₁-c，y₂=x₂-c，
∴3（x₁+x₂-2c）+（x₁+x₂）=0，
∴x1+x2=

3

2

c．
即

2a2c

a2+b2

=

3c

2

，
所以a²=3b²．
∴c=

a2-b2

=

6 a

3

，
故離心率e=

c

a

=

6

3

．
（II）證明：由（1）知a²=3b²，
所以橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，F(xiàn)(c，0)可化為x²+3y²=3b²．
設(shè)M（x，y），
由已知得（x，y）=λ（x₁，y₁）+μ（x₂，y₂），
∴

x=λx1+μx2 y=λy1+μy2

∵M(jìn)（x，y）在橢圓上，
∴（λx₁+μx₂）²+3（λy₁+μy₂）²=3b²．
即λ²（x₁²+3y₁²）+μ²（x₂²+3y₂²）+2λμ（x₁x₂+3y₁y₂）=3b²．①
由（1）知a2=

3

2

c2，b2=

1

2

c2．
∴x1+x2=

3c

2

，x1x2=

a2c2-a2b2

a2+b2

=

3

8

c2
∴x₁x₂+3y₁y₂=x₁x₂+3（x₁-c）（x₂-c）=4x₁x₂-3（x₁+x₂）c+3c²=

3

2

c2-

9

2

c2+3c2=0．
又x₁²+3y₁²=3b²，x₂²+3y₂²=3b²，
代入①得λ²+μ²=1．
故λ²+μ²為定值，定值為1．

點(diǎn)評(píng)：考查向量共線為圓錐曲線提供已知條件；處理直線與圓錐曲線位置關(guān)系常用的方法是直線與圓錐曲線方程聯(lián)立用韋達(dá)定理．
是高考常見(jiàn)題型且是解答題．