Question

已知函數(shù)f（x）=log_a（x-1），g（x）=log_a（3-x），（a＞0且a≠1）
（1）求函數(shù)h（x）=f（x）-g（x）的定義域；
（2）解不等式f（x）≥g（x）

Answer 1

分析：（1）函數(shù)h（x）=f（x）-g（x）的定義域，須使函數(shù)f（x）=log_a（x-1），g（x）=log_a（3-x）的解析式都有意義，結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，構(gòu)造不等式組，解得函數(shù)的定義域．
（2）分0＜a＜1和a＞1兩種情況，結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及（I）中函數(shù)的定義域?qū)⒉坏仁睫D(zhuǎn)化為整式不等式并解答，最后綜合分類討論結(jié)果，可得答案．

解答：解：（1）要使函數(shù)h（x）=f（x）-g（x）的解析式有意義
則

x-1＞0 3-x＞0

解得1＜x＜3
∴函數(shù)h（x）=f（x）-g（x）的定義域?yàn)椋?，3）
（2）當(dāng)0＜a＜1時(shí)，函數(shù)y=log_ax為減函數(shù)
不等式f（x）≥g（x），即log_a（x-1）≥log_a（3-x），
可化為x-1≤3-x，解得x≤2，
結(jié)合（1）中函數(shù)定義域可得1＜x≤2
此時(shí)不等式的解集為（1，2]
當(dāng)a＞1時(shí)，函數(shù)y=log_ax為增函數(shù)
不等式f（x）≥g（x），即log_a（x-1）≥log_a（3-x），
可化為x-1≥3-x，解得x≥2，
結(jié)合（1）中函數(shù)定義域可得2≤x3
此時(shí)不等式的解集為[2，3）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)的定義域及求法，對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，其中熟練掌握對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．