Question

已知向量，，其中A、B是△ABC的內(nèi)角，．
（1）求tanA•tanB的值；
（2）若a、b、c分別是角A、B、C的對邊，當C最大時，求的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù) 推斷出 =0，利用向量的數(shù)量積運算結(jié)合二倍角公式求得tanA•tanB；
（2）由于tanA•tanB=＞0，利用基本不等式得出當且僅當 時，c取得最大值，再利用同角公式求出sinC，sinA，最后由正弦定理求的值．
解答：解：（Ⅰ）由題意得 =0
即，
-5cos（A+B）+4cos（A-B）=0
cosAcosB=9sinAsinB
∴tanA•tanB=．
（2）由于tanA•tanB=＞0，且A、B是△ABC的內(nèi)角，
∴tanA＞0，tanB＞0
∴=-
當且僅當 取等號．
∴c為最大邊時，有，tanC=-，
∴sinC=，sinA=
由正弦定理得：=．
點評：本題是中檔題，考查三角函數(shù)的化簡與求值，正弦定理的應用，基本不等式的知識，是一道綜合題，考查學生分析問題解決問題的能力，公式的熟練程度決定學生的能力的高低．