Question

【題目】如圖①，在中，，的中點為，點在的延長線上，且.固定邊，在平面內移動頂點，使得圓分別與邊，的延長線相切，并始終與的延長線相切于點，記頂點的軌跡為曲線.以所在直線為軸，為坐標原點建立平面直角坐標系，如圖②所示.

（1）求曲線的方程；

（2）過點的直線與曲線交于不同的兩點，，直線，分別交曲線于點，，設，，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）依題意得出，利用橢圓的定義，即可判定C點的軌跡，得到橢圓的方程；

（2）設，，，得到，由，求得，當直線與軸不垂直時，設直線的方程為，代入橢圓方程，利用根與系數的關系，化簡得，，設直線的方程為，代入橢圓方程并整理得，利用根與系數的關系，化簡得，即可求解.

（1）由題意得，，

設動圓與邊的延長線相切于點，與邊相切于點，

則，，，

所以 ，

所以點的軌跡是以，為焦點，長軸長為的橢圓，且挖去長軸的兩個頂點，

則曲線的方程為.

（2）設，，，由題意得，

則，.

由，得，即.

當直線與軸不垂直時，直線的方程為，即，

代入橢圓的方程并整理得，

則有，即，故.

當直線與軸垂直時，點的橫坐標為1，，顯然成立.

同理可得.

設直線的方程為，

代入橢圓的方程并整理得.

由題意得，

解得.

又，

所以 .

由，得，

故的取值范圍為.