Question

在△ABC中，4sinB•sin²（

π

4

+

π

2

）+cos2B=1+

3

．
（1）求角B的大小；（2）若a=4，cosC=sinB，求△ABC的面積．

Answer 1

分析：（1）把已知等式左邊第一項的第二個因式利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡，第二項也利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡，去括號合并后，得出sinB的值，由B為三角形的內(nèi)角，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出B的度數(shù)；
（2）由（1）求得的B的度數(shù)，得出sinB的值，進而由cosC=sinB得到cosC的值，可得出C的度數(shù)，若B=

π

3

時，得到此時三角形為直角三角形，由30度角所對的直角邊等于斜邊的一半可得出c與b的值，利用兩直角邊乘積的一半即可求出三角形ABC的面積；若B=

2π

3

時，此時三角形為等腰三角形，作出底邊AC上的高BD，根據(jù)30度角所對的直角邊等于斜邊的一半得出高BD的長，再根據(jù)勾股定理及三線合一性質(zhì)得到AC的長，利用三角形的面積公式即可求出三角形ABC的面積．

解答：解：（1）由4sinB•sin²（

π

4

+

π

2

）+cos2B=1+

3

得：
2sinB•[1-cos（

π

2

+B）]+1-2sin²B=1+

3

，
∴sinB=

1

2

，又∵B是△ABC的內(nèi)角，
∴B=

π

3

或B=

2π

3

；
（2）∵cosC=sinB，∴cosC=

3

2

，∴C=

π

6

，
若B=

π

3

時，則△ABC為直角三角形，又a=4，

∴c=

1

2

a=2，b=2

3

，
∴S_△ABC=

1

2

bc=2

3

；
若B=

2π

3

時，則△ABC為等腰三角形，又a=4，
過B作BD⊥AC，垂足為D，
∴BD=asin30°=2，
∴CD=2

3

，即AC=2DC=4

3

，

∴S_△ABC=

1

2

AC•BD=4

3

．
綜上所述：△ABC的面積為2

3

或4

3

．

點評：此題考查了二倍角的余弦函數(shù)公式，以及特殊角的三角函數(shù)值，利用了轉(zhuǎn)化及數(shù)形結合的數(shù)學思想，根據(jù)B的度數(shù)有兩解，可得三角形形狀有兩種，學生做題時要借助圖形來求解，注意不要漏解．