Question

如圖，在底面是正方形的四棱錐P—ABCD中，PA⊥面ABCD，BD交AC于點(diǎn)E，F(xiàn)是PC中點(diǎn)，G為AC上一點(diǎn)．

   （1）求證：BD⊥FG；

   （2）確定點(diǎn)G在線段AC上的位置，使FG//平面PBD，并說明理由．

   （3）當(dāng)二面角B—PC—D的大小為時(shí)，求PC與底面ABCD所成角的正切值．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

G為EC中點(diǎn)，

【解析】證明：（I）面ABCD，四邊形ABCD是正方形，

       其對(duì)角線BD，AC交于點(diǎn)E，

       ∴PA⊥BD，AC⊥B  D．

       ∴BD⊥平面APC，

       平面PAC，

∴BD⊥FG                                                                              …………3分

   （II）當(dāng)G為EC中點(diǎn)，即時(shí)，

       FG//平面PBD，       …………4分

       理由如下：

       連接PE，由F為PC中點(diǎn)，G為EC中點(diǎn)，知FG//PE，

       而FG平面PBD，PB平面PBD，

       故FG//平面PB         D．                          …………7分

   （III）作BH⊥PC于H，連結(jié)DH，

       ∵PA⊥面ABCD，四邊形ABCD是正方形，

       ∴PB=PD，

       又∵BC=DC，PC=PC，

       ∴△PCB≌△PCD，

       ∴DH⊥PC，且DH=BH，

       ∴∠BHD主是二面角B—PC—D的平面角，                           …………9分

       即

       ∵PA⊥面ABCD，

       ∴∠PCA就是PC與底面ABCD所成的角                                ………10分

       連結(jié)EH，則

      

      

      

       ∴PC與底面ABCD所成角的正切值是                              …………12分