Question

如圖，在底面是正方形的四棱錐P-ABCD中，PA⊥面ABCD，BD交AC于點E，F(xiàn)是PC中點，G為AC上一點．
（Ⅰ）確定點G在線段AC上的位置，使FG∥平面PBD，并說明理由；
（Ⅱ）當二面角B-PC-D的大小為

2π

3

時，求PC與底面ABCD所成角的正切值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）要使FG∥平面PBD，只需FG∥EP，以A為原點，AB、AD、PA所在的直線分別為x、y、z軸，建立空間直角坐標系A-xyz如圖所示，設G點坐標為（m，m，0），根據(jù)向量平行的充要條件，可得變量m的值，進而可得點G在線段AC上的位置．
（II）分別求出平面PBC的一個法向量和平面PDC的一個法向量，進而根據(jù)二面角B-PC-D的大小為

2π

3

，可得變量a值，進而根據(jù)∠PCA就是PC與底面ABCD所成的角，可得PC與底面ABCD所成角的正切值．

解答：解：（Ⅰ）以A為原點，AB、AD、PA所在的直線分別為x、y、z軸，
建立空間直角坐標系A-xyz如圖所示，
設正方形ABCD的邊長為1，PA=a，則
A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0），P（0，0，a）（a＞0），
E（

1

2

，

1

2

，0），F(xiàn)（

1

2

，

1

2

，

a

2

），G（m，m，0）（0＜m＜

2

）．
要使FG∥平面PBD，只需FG∥EP，
而

PE

=（

1

2

，

1

2

，-a），
由

FG

=λ

PE

可得

m- 1 2 = 1 2 λ - a 2 =-aλ

解得λ=

1

2

，m=

3

4

，
∴G點坐標為（

3

4

，

3

4

，0）
∴

AG

=

3

4

AC

，
故當AG=

3

4

AC時，F(xiàn)G∥平面PBD．
（Ⅱ）設平面PBC的一個法向量為

u

=（x，y，z），
則

u • PC =0 u • BC =0

而

PC

=（1，1，-a），

BC

=（0，1，0），
∴

x+y-az=0 y=0

取z=1，得

u

=（a，0，1），
同理可得平面PDC的一個法向量

v

=（0，a，1），
設u，v所成的角為θ，
則|cosθ|=|cos

2π

3

|=

1

2

，
即

|u•v|

|u||v|

=

1

2

，
∴

1

a2+1 • a2+1

=

1

2

，
∴a=1，
∵PA⊥面ABCD，
∴∠PCA就是PC與底面ABCD所成的角，
∴tan∠PCA=

PA

AC

=

1

2

=

2

2

．

點評：本題考查的知識點是直線與平面所成的角，直線與平面平行的判斷，其中建立空間坐標系，將直線與平面的關系，及二面角問題轉(zhuǎn)化為向量問題是解答的關鍵．