Question

【題目】已知函數(shù)， 為自然對數(shù)的底數(shù).

（1）若當(dāng)時， 恒成立，求的取值范圍；

（2）設(shè)，若對恒成立，求的最大值.

Answer 1

【答案】(1) (2) 的最大值為，此時，

【解析】試題分析：（1）因為，所以恒成立，由于，所以設(shè)，則恒成立，根據(jù)一次函數(shù)單調(diào)性即得的取值范圍；（2）令，則原問題轉(zhuǎn)化為對恒成立.根據(jù)二次求導(dǎo)可得， ，即得，再利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最大值，即得的最大值.

試題解析：（1）由題意得，且，注意到

設(shè)，則，則為增函數(shù)，且.

討論如下：

①若， ，得在上單調(diào)遞增，有，得在上單調(diào)遞增，有，合題意；

②若，令，得，則當(dāng)時， ，得在上單調(diào)遞減，有，得在上單調(diào)遞減，有，舍去.

綜上， 的取值范圍.

（2）當(dāng)時， ，即.

令，則原問題轉(zhuǎn)化為對恒成立.

令， .

若，則，得單調(diào)遞增，當(dāng)時， ， 不可能恒成立，舍去；

若，則；

若，則易知在處取得最小值，所以， ，將看做新的自變量，即求函數(shù)的最大值，

則，令，得.

所以在上遞增，在上遞減，所以，

即的最大值為，此時， .