Question

【題目】已知數(shù)列各項(xiàng)均為正數(shù)，其前項(xiàng)和為，且， .

（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（Ⅱ）求數(shù)列的前項(xiàng)和.

Answer 1

【答案】（I）；（II）.

【解析】試題分析：（1）由當(dāng)時(shí)，， ，兩式相減可得，由此可得數(shù)列是公差為 的等差數(shù)列，從而能求出；（2）由，利用錯(cuò)位相減法能求出數(shù)列的前項(xiàng)和.

試題解析：（Ⅰ）∵數(shù)列各項(xiàng)均為正數(shù)，其前項(xiàng)和為，且， .，

∴當(dāng)時(shí)， ，解得，

當(dāng)時(shí)， ，

∵，∴，

∴， ，…， ，…，是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列， ，

， ，…， ，…，是以2為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)， ，∴， .

（Ⅱ）∵， ，

∴數(shù)列的前項(xiàng)和：

，①

，②.

②-①，得：

.

【易錯(cuò)點(diǎn)晴】本題主要考查遞推公式、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、“錯(cuò)位相減法”求數(shù)列的和，屬于難題. “錯(cuò)位相減法”求數(shù)列的和是重點(diǎn)也是難點(diǎn)，利用“錯(cuò)位相減法”求數(shù)列的和應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：①掌握運(yùn)用“錯(cuò)位相減法”求數(shù)列的和的條件（一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列的積）；②相減時(shí)注意最后一項(xiàng) 的符號(hào)；③求和時(shí)注意項(xiàng)數(shù)別出錯(cuò)；④最后結(jié)果一定不能忘記等式兩邊同時(shí)除以.