Question

設(shè)函數(shù)f(x)=

3

sinx-

sin( π 2 -2x)sin( π 2 -x)

cos(π+x)

．
（Ⅰ）求f（x）的最值；
（Ⅱ）當(dāng)θ∈(0，  

π

2

)時(shí)，若f（θ）=1，求θ的值．

Answer 1

分析：（I）利用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式、倍角公式、二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出；
（II）利用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式、倍角公式、特殊角的三角函數(shù)值即可得出．

解答：解：（Ⅰ）f(x)=

3

sinx-

sin( π 2 -2x)sin( π 2 -x)

cos(π+x)

=

3

sinx-

cos2xcosx

-cosx

=

3

sinx+cos2x
=

3

sinx+1-2sin2x=-2(sinx-

3

4

)2+

11

8

故當(dāng)sinx=

3

4

時(shí)，f(x)max=

11

8

當(dāng)sinx=-1時(shí)，f(x)min=

3

×(-1)+1-2×(-1)2=-

3

-1．
（Ⅱ）由f(θ)=1⇒

3

sinθ-

sin( π 2 -2θ)sin( π 2 -θ)

cos(π+θ)

=1⇒

3

sinθ+cos2θ=1
即：

3

sinθ+1-2sin2θ=1⇒2sin2θ-

3

sinθ=0⇒sinθ(2sinθ-

3

)=0
又θ∈(0，  

π

2

)，
∴sinθ=

3

2

，從而θ=

π

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式、兩角和差等公式和三角函數(shù)化簡(jiǎn)及最值等知識(shí)，符合高考考綱要求，考查了基本運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．