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          精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情
          
			
          
				
          如圖，P是雙曲線
          x2
          a2
          -
          y2
          b2
          =1(a＞0，b＞0，xy≠0)          上的動點，F1、F2是雙曲線的左右焦點，M是∠F1PF2的平分線上一點，且F2M⊥MP．某同學用以下方法研究|OM|：延長F2M交PF1于點N，可知△PNF2為等腰三角形，且M為F2N的中點，得|OM|=
          1
          2
          |NF1|，…，|OM|=a          ．類似地：P是橢圓
          x2
          a2
          +
          y2
          b2
          =1(a＞b＞0，b2+c2=a2，xy≠0)          上的動點，F1、F2是橢圓的左右焦點，M是∠F1PF2的平分線上一點，且F2M⊥MP，則|OM|的取值范圍是
          （0，c）
          （0，c）
          ．
          			
          


			
          

		
          
		
		
	
          
		
          
			
          
				
          
				
          分析：類比雙曲線中的研究方法，結合橢圓的定義，即可確定|OM|的取值范圍．
          解答：解：延長F2M交PF1于點N，可知△PNF2為等腰三角形，且M為F2N的中點，得|OM|=
          1
          2
          |NF1|=
          1
          2
          (|PF1|-|PF2|)
          ∵|PF1|+|PF2|=2a
          ∴|OM|=a-|PF2|
          ∵a-c≤|PF2|≤a+c
          ∵P、F1、F2三點不共線
          ∴0＜a-|PF2|＜c
          ∴0＜|OM|＜c
          故答案為：（0，c）．
          點評：本題考查類比推理，考查橢圓的定義，考查學生分析解決問題的能力，屬于基礎題．
          				
          
							
          
			
          
			
          
			
			
          
		
          
	
          

		
          

		





			
          
		
          
		
				
          
				練習冊系列答案
		
          
		
				
			

					
          
				相關習題
			
          
						
		
          
			
          
				科目：高中數學
				來源：
				題型：
			
          

						
          精英家教網已知等軸雙曲線C的兩個焦點F1、F2在直線y=x上，線段F1F2的中點是坐標原點，且雙曲線經過點（3，
          3
          2
          ）．
          （1）若已知下列所給的三個方程中有一個是等軸雙曲線C的方程：①x2-y2=
          27
          4
          ；②xy=9；③xy=
          9
          2
          ．請確定哪個是等軸雙曲線C的方程，并求出此雙曲線的實軸長；
          （2）現要在等軸雙曲線C上選一處P建一座碼頭，向A（3，3）、B（9，6）兩地轉運貨物．經測算，從P到A、從P到B修建公路的費用都是每單位長度a萬元，則碼頭應建在何處，才能使修建兩條公路的總費用最低？
          （3）如圖，函數y=
          		3
          3
          x+
          1
          x
          的圖象也是雙曲線，請嘗試研究此雙曲線的性質，你能得到哪些結論？（本小題將按所得到的雙曲線性質的數量和質量酌情給分）
          

			
          

			
          
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				科目：高中數學
				來源：
				題型：
			
          

						
          精英家教網如圖，點P是雙曲線C1：
          x2
          a2
          -
          y2
          b2
          =1(a＞0，b＞0)          和圓C2：x2+y2=a2+b2的一個交點，Q是圓C2在x軸下方的一點，且∠F1QP=60o，其中F1、F2是雙曲線C1的兩個焦點，則雙曲線C1的離心率為
           
          ．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數學
				來源：
				題型：
			
          

						
          如圖，已知橢圓E：
          x2
          a2
          +
          y2
          b2
          =1          （a＞b＞0），焦點為F1、F2，雙曲線G：x2-y2=m（m＞0）的頂點是該橢圓的焦點，設P是雙曲線G上異于頂點的任一點，直線PF1、PF2與橢圓的交點分別為A、B和C、D，已知三角形ABF2的周長等于8
          		2
          ，橢圓四個頂點組成的菱形的面積為8
          		2
          ．
          （1）求橢圓E與雙曲線G的方程；
          （2）設直線PF1、PF2的斜率分別為k1和k2，探求k1和k2的關系；
          （3）是否存在常數λ，使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立？若存在，試求出λ的值；若不存在，請說明理由．
          精英家教網
          

			
          

			
          
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				科目：高中數學
				來源：
				題型：
			
          

						
          如圖，已知橢圓E：
          x2
          8
          +
          y2
          4
          =1          焦點為F1、F2，雙曲線G：x2-y2=4，設P是雙曲線G上異于頂點的任一點，直線PF1、PF2與橢圓的交點分別為A、B和C、D．
          （1）設直線PF1、PF2的斜率分別為k1和k2，求k1•k2的值；
          （2）是否存在常數λ，使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立？若存在，試求出λ的值；若不存在，請說明理由．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數學
				來源：
				題型：
			
          

						
          （2013•上海）如圖，已知雙曲線C1：
          x2
          2
          -y2=1          ，曲線C2：|y|=|x|+1，P是平面內一點，若存在過點P的直線與C1，C2都有公共點，則稱P為“C1-C2型點”
          （1）在正確證明C1的左焦點是“C1-C2型點“時，要使用一條過該焦點的直線，試寫出一條這樣的直線的方程（不要求驗證）；
          （2）設直線y=kx與C2有公共點，求證|k|＞1，進而證明原點不是“C1-C2型點”；
          （3）求證：圓x2+y2=
          1
          2
          內的點都不是“C1-C2型點”
          

			
          

			
          
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