Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x³+ax²-a²x+1，g（x）=ax²-2x+1，其中a≠0
（I）若a=1，求函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，2]上最大值和最小值；
（II）若f（x）與g（x）在區(qū)間（a，a+2）上均為增函數(shù)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）將a的值代入，求出f（x）的導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)函數(shù)大于0求出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，同時求出函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，求出函數(shù)的極值，再求出函數(shù)在區(qū)間端點的值，從中選出最值．
（II）求出f（x）的導(dǎo)函數(shù)，求出g（x）的對稱軸，通過對a的符號的討論，寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的端點與區(qū)間（a，a+2）的端點的關(guān)系，列出不等式，求出a的范圍．

解答：解：（Ⅰ）∵a=1，
∴f（x）=x³+x²-x+1，
∴f′(x)=3(x-

1

3

)(x+1)，且x∈[-1，2]．                  
∴f（x）在區(qū)間[-1，

1

3

]上遞減，[

1

3

，2]上遞增，
∴f（x）在區(qū)間[-1，2]上的最大值為f（-1）=2與f（2）=11的最大者比較，
即f（x）在區(qū)間[-1，2]上的最大值為f（2）=11，最小值為f(

1

3

)=

22

27

． 
（Ⅱ）∵f′(x)=3x2+2ax-a2=3(x-

a

3

)(x+a)．    
當(dāng)a＞0時，f（x）在（-∞，-a）和(

a

3

，+∞)上是增函數(shù)，g（x）在(

1

a

，+∞)上是增函數(shù)．
由題意得

a＞0 a≥ a 3 a≥ 1 a

解得a≥1．                        
當(dāng)a＜0時，f（x）在(-∞，

a

3

)和（-a，+∞）上是增函數(shù)，g（x）在(-∞，

1

a

)上是增函數(shù)．
由題意得

a＜0 a+2≤ a 3 a+2≤ 1 a

解得a≤-3．
綜上，a的取值范圍為（-∞，-3]∪[1，+∞）．

點評：求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，一般利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的極值再求出函數(shù)在區(qū)間的兩個端點的函數(shù)值，從中選出最值；求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，常利用導(dǎo)函數(shù)的符號與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系．