Question

【題目】如圖，平面，分別是的中點(diǎn)，，.

（1）求二面角的余弦值；

（2）點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)直線與所成的角最小時(shí)，求線段的長(zhǎng).

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】

試題分析：先利用所給的垂直關(guān)系建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)（1）判定是平面的一個(gè)法向量，求出平面的一個(gè)法向量，利用平面的法向量求二面角的余弦值；（2）先利用三點(diǎn)共線設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用空間向量的夾角公式得到函數(shù)關(guān)系式，利用二次函數(shù)求其最值．

試題解析：以為正交基底建立空間直角坐標(biāo)系，

則各點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，．

（Ⅰ）因?yàn)?/span>平面，所以是平面的一個(gè)法向量，．因?yàn)?/span>，．

設(shè)平面的法向量為，則，，

即令，解得

所以是平面的一個(gè)法向量． 從而

所以二面角的余弦值為

（Ⅱ）因?yàn)?/span>，設(shè)，

又，則，又，

從而

設(shè), 則

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，的最大值為.

因?yàn)?/span>在上是減函數(shù)，此時(shí)直線與所成角取得最小值．

又因?yàn)?/span>，所以