Question

【題目】已知橢圓的左焦點(diǎn)為，經(jīng)過點(diǎn)的直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn).當(dāng)直線的斜率為時(shí)，直線的斜率為.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若點(diǎn)為橢圓的左頂點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓的右頂點(diǎn)，過的動(dòng)直線交該橢圓于，兩點(diǎn)，記的面積為，的面積為，求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）由點(diǎn)差法及橢圓的幾何性質(zhì)即可求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（2）設(shè)直線的方程為，求出三角形面積得，聯(lián)立方程組，由根與系數(shù)的關(guān)系可得關(guān)于m的函數(shù)式，換元后由均值不等式求最值即可.

（1）設(shè)，，則點(diǎn)，由條件知，

直線的斜率為，直線的斜率為，

而，兩式作差得，，

所以，即，

又左焦點(diǎn)為，所以，

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（2）設(shè)直線的方程為，記，過標(biāo)為，，

則，

，

所以.

聯(lián)立方程，，消去，得，

所以，，

，令，則，且，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，

所以，即的最大值為.