Question

給出下列命題：
①存在實數(shù)α，使sinα•cosα=

1

3

②函數(shù)y=sin(

3

2

π+x)是偶函數(shù)
③x=

π

8

是函數(shù)y=sin(2x+

5

4

π)的一條對稱軸方程
④若α、β是第一象限的角，且α＞β，則sinα＞sinβ
其中正確命題的序號是

 

．

Answer 1

分析：由正弦函數(shù)的值域知①正確；由于②中的函數(shù)利用誘導(dǎo)公式可化為-cosx，可得②正確；根據(jù)當(dāng)x=

π

8

時，函數(shù)y=sin(2x+

5

4

π)取得最小值-1，可得③正確；通過舉反例可得④不正確．

解答：解：①即 存在實數(shù)α，使 sin2α=

2

3

∈[-1，1]，故①正確．
∵y=sin(

3

2

π+x)=-cosx，顯然是偶函數(shù)，故②正確．
∵當(dāng)x=

π

8

時，函數(shù)y=sin(2x+

5

4

π)取得最小值-1，故x=

π

8

是函數(shù)y=sin(2x+

5

4

π)的一條對稱軸方程，故③正確．
設(shè)α=

π

3

，β=

π

3

-2π，滿足α＞β，但sinα=sinβ，故④不正確．
故答案為：①②③．

點評：本題考查三角函數(shù)的奇偶性、對稱性、定義域和值域，二倍角公式的應(yīng)用，屬于中檔題．