Question

給出下列命題：
①存在實數(shù)α使sinα•cosα=1成立；
②存在實數(shù)α使sinα+cosα=

3

2

成立；
③函數(shù)y=sin(

5π

2

-2x)是偶函數(shù)；
④x=

π

8

是函數(shù)y=sin(2x+

5π

4

)的圖象的一條對稱軸的方程；
⑤在△ABC中，若A＞B，則sinA＞sinB．
其中正確命題的序號是（　　）

Answer 1

分析：①根據(jù)正弦二倍角公式sin2α=2sinαcosα對①進行判斷；
②利用輔助角公式進行判斷；
③函數(shù)y=sin(

5π

2

-2x)化為余弦，然后在進行判斷；
④把x=

π

8

代入函數(shù)y=sin(2x+

5π

4

)進行判斷；
⑤在△ABC中，可判斷A，B屬于（0，π），再根據(jù)A為銳角或鈍角兩種情況進行說明，進行判斷；

解答：解：①∵sinα•cosα=

1

2

sin2α=1，∴sin2α=2，顯然是不可能的，故①錯誤；
②∵sinα+cosα=

2

sin(α+

π

4

)=

3

2

，∴sin（α+

π

4

）=

3 2

4

＞1，故不存在α使sinα+cosα=

3

2

成立；
③∵y=sin(

5π

2

-2x)=cos（

π

2

-

5π

2

+2x）=cos（2x-2π）=cos2x，∴y是偶函數(shù)，故③正確；
④把x=

π

8

代入得，y=sin(2x+

5π

4

)=sin(2×

π

8

+

5π

4

)=sin

3π

2

=-1，∴x=

π

8

為y的一條對稱軸；故④正確；
⑤若A＞B，當A不超過90°時，顯然可得出sinA＞sinB，
當A是鈍角時，
由于

π

2

＞π-A＞B，可得sin（π-A）=sinA＞sinB，
即 A＞B⇒sinA＞sinB
故選B．

點評：此題主要考查命題的真假的判斷及應用，考查的知識點比較多，綜合性比較強，是一道中檔題；