Question

在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=2，底面是邊長為1的正方形，E、F分別是棱B₁B、DA的中點．
（Ⅰ）求二面角D₁-AE-C的大小；
（Ⅱ）求證：直線BF∥平面AD₁E．

Answer 1

分析：（I）由題意建立如圖的空間直角坐標(biāo)系，寫出相應(yīng)點的坐標(biāo)，利用兩平面的法向量的夾角與兩半平面夾角之間的關(guān)系求出二面角的大小；
（II）因為E，F(xiàn)分別是棱BB₁，AD中點，利用條件得到四邊形BED₁F為平行四邊形，進(jìn)而得到BG∥平面AD₁E，GF∥平面AD₁E，再利用線面平行的判定定理證出所求．

解答：解：（Ⅰ）以D為坐標(biāo)原點，DA、DC、DD₁分別為X、Y、Z軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖．
則相應(yīng)點的坐標(biāo)分別為D₁（0，0，2），A（1，0，0），C（0，1，0），E（1，1，1），
∴

ED1

=(0，0，2)-(1，1，1)=(-1，-1，1)

AE

=(1，1，1)-(1，0，0)=(0，1，1)，

AC

=(0，1，0)-(1，0，0)=(-1，1，0)
設(shè)平面AED₁、平面AEC的法向量分別為

m

=(a，b，1)，

n

=(c，d，1)，
由

ED1 • m =0 AE • m =0

?

-a-b+1=0 b+1=0

?

a=2  b=-1

，
由

AC • n =0 AE • n =0

?

-c+d=0 d+1=0

?

c=-1 d=-1

，
∴

m

=(2，-1，1)，

n

=(-1，-1，1)，
∴cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m |•| n |

=

-2+1+1

6 × 3

=0
∴二面角D₁-AE-C的大小為90°．

（Ⅱ）證明：取DD₁的中點G，連接GB，GF
∵E，F(xiàn)分別是棱BB₁，AD中點
∴GF∥AD₁，BE∥D₁G且BE=D₁G，
∴四邊形BED₁F為平行四邊形，∴D₁E∥BF
又D₁E，D₁A?平面AD₁E，BG，GF?平面AD₁E
∴BG∥平面AD₁E，GF∥平面AD₁E
∵GF，GB⊆平面BGF，∴平面BGF∥平面AD₁E
∵BF⊆平面AD₁E，∴直線BF∥平面AD₁E

點評：此題重點考查了建立空間直角坐標(biāo)系，利用平面的法向量的夾角與二面角的大小之間的關(guān)系，求解出二面角的大小，還考查了利用線線平行證明線面平行和面面平行，進(jìn)而利用面面平行的性質(zhì)定理得線面平行．