Question

在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=2，底面是邊長為1的正方形，E、G、F分別是棱B₁B、D₁D、DA的中點．
（Ⅰ）求證：平面AD₁E∥平面BGF；
（Ⅱ）求證：D₁E⊥平面AEC．

Answer 1

分析：（Ⅰ）欲證平面AD₁E∥平面BGF，根據(jù)面面平行的判定定理可知只需在一個平面內(nèi)找兩相交直線與另一平面平行，根據(jù)中位線可知BE∥D₁F且BE=D₁F，則四邊形BED₁F為平行四邊形即D₁E∥BF，又D₁E?平面AD₁E，BF?平面AD₁E，根據(jù)線面平行的判定定理可知BF∥平面AD₁E，同理可證GF∥AD₁，又AD₁?平面AD₁E，GF?平面AD₁E，從而GF∥平面AD₁E，又BF∩GF=F，滿足定理所需的條件；
（Ⅱ）根據(jù)AD₁²=D₁E²+AE²可知D₁E⊥AE，而AC⊥BD，AC⊥D₁D，根據(jù)線面垂直的判定定理可知AC⊥平面BD₁，又D₁E?平面BD₁，AC⊥D₁E，
又AC∩AE=A，AC?平面AEC，AE?平面AEC．根據(jù)線面垂直的判定定理可知D₁E⊥平面AEC．

解答：證明：（Ⅰ）∵E，F(xiàn)分別是棱BB₁，DD₁中點∴BE∥D₁F且BE=D₁F
四邊形BED₁F為平行四邊形∴D₁E∥BF
又D₁E?平面AD₁E，BF?平面AD₁E∴BF∥平面AD₁E（3分）
又G是棱DA的中點∴GF∥AD₁
又AD₁?平面AD₁E，GF?平面AD₁E∴GF∥平面AD₁E（6分）
又BF∩GF=F
平面AD₁E∥平面BGF（7分）
（Ⅱ）AA₁=2，AD₁=

A1A2+A1 D 2 1

=

5

，
同理AE=

2

，D1E=

3

AD₁²=D₁E²+AE²，∴D₁E⊥AE（10分）
∵AC⊥BD，AC⊥D₁D，∴AC⊥平面BD₁，又D₁E?平面BD₁，AC⊥D₁E，
又AC∩AE=A，AC?平面AEC，AE?平面AEC．所以D₁E⊥平面AEC．（13分）

點評：本題主要考查了平面與平面平行的判定，以及線面垂直的判定，應熟練記憶平面與平面平行的判定定理和線面垂直的判定定理．