【題目】我們把定義在上,且滿足
(其中常數(shù)
、
滿足
,
,
)的函數(shù)叫做似周期函數(shù).
(1)若某個似周期函數(shù)滿足
且圖象關(guān)于直線
對稱,求證:函數(shù)
是偶函數(shù);
(2)當,
時,某個似周期函數(shù)在
時的解析式為
,求函數(shù)
,
,
的解析式;
(3)對于(2)中的函數(shù),若對任意
,都有
,求實數(shù)
的取值范圍.
【答案】(1)證明見解析;(2);(3)
.
【解析】
(1)利用似周期函數(shù)的性質(zhì)、圖像關(guān)于直線對稱,結(jié)合函數(shù)奇偶性的定義,證得
,由此證得
是偶函數(shù).
(2)利用迭代的方法,求得,
,
的解析式.
(3)根據(jù)(2)中求得的解析式,畫出
圖像和
的圖像,確定
的大致區(qū)間,令
,求得對應
的值,由此確定
的取值范圍.
(1)依題意可知,函數(shù)的定義域為
,關(guān)于原點對稱.由于
圖像關(guān)于
對稱,故
①.又
,即
②,用
代替
得
③.由①②③可知
,而
,
,所以
,故函數(shù)
為偶函數(shù).
(2)由于,
,所以
,得
.
當時,
;
當時,
,
;
當時,
,
;
當時,
,
;
……
以此類推,當時,
.
同理,由于,
,所以
,得
.
當時,
,
;
當時,
,
;
……
以此類推,當時,
.
綜上所述,當,
時,
(3)由(2)畫出的圖像、函數(shù)
圖像如下圖所示.由圖可知,從左往右,從
開始,
與
圖像有交點.由(2)知,當
時,
;令
,解得
或
.結(jié)合圖像可知,要使對任意
,都有
,則
.故
的取值范圍是
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】“割圓術(shù)”是劉徽最突出的數(shù)學成就之一,他在《九章算術(shù)注》中提出割圓術(shù),并作為計算圓的周長,面積已經(jīng)圓周率的基礎,劉徽把圓內(nèi)接正多邊形的面積一直算到了正3072邊形,并由此而求得了圓周率為3.1415和3.1416這兩個近似數(shù)值,這個結(jié)果是當時世界上圓周率計算的最精確數(shù)據(jù).如圖,當分割到圓內(nèi)接正六邊形時,某同學利用計算機隨機模擬法向圓內(nèi)隨機投擲點,計算得出該點落在正六邊形內(nèi)的頻率為0.8269,那么通過該實驗計算出來的圓周率近似值為(參考數(shù)據(jù):)
A. 3.1419B. 3.1417C. 3.1415D. 3.1413
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【題目】如圖1,在直角梯形ABCD中,E,F分別為AB的三等分點,,若沿著FG,ED折疊使得點A和B重合,如圖2所示,連結(jié)GC,BD.
(1)求證:平面平面
;
(2)求二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的焦距與短軸長相等,長軸長為
,設過右焦點F傾斜角為
的直線交橢圓M于A、B兩點.
(1)求橢圓M的方程;
(2)求證:
(3)設過右焦點F且與直線AB垂直的直線交橢圓M于C、D,求四邊形ABCD面積的最小值.
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【題目】設橢圓的右頂點為A,下頂點為B,過A、O、B(O為坐標原點)三點的圓的圓心坐標為
.
(1)求橢圓的方程;
(2)已知點M在x軸正半軸上,過點B作BM的垂線與橢圓交于另一點N,若∠BMN=60°,求點M的坐標.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】對于函數(shù)和
,設
,若對所有的
都有
,則稱
和
互為“零點相鄰函數(shù)”.若函數(shù)
與
互為“零點相鄰函數(shù)”,則實數(shù)a的取值范圍是______.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,側(cè)棱與底面垂直的四棱柱ABCD,A1B1C1D1的底面是梯形,AB∥CD,AB⊥AD,AA1=4,DC=2AB,AB=AD=3,點M在棱A1B1上,且A1M=A1B1.已知點E是直線CD上的一點,AM∥平面BC1E.
(1)試確定點E的位置,并說明理由;
(2)求三棱錐M-BC1E的體積.
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