Question

【題目】已知拋物線的焦點(diǎn)為，拋物線上橫坐標(biāo)為的點(diǎn)到拋物線頂點(diǎn)的距離與該點(diǎn)到拋物線準(zhǔn)線的距離相等。

（1）求拋物線的方程；

（2）設(shè)直線與拋物線交于兩點(diǎn)，若，求實數(shù)的值。

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】試題分析：（1）將拋物線上點(diǎn)的橫坐標(biāo)代入方程，求其縱坐標(biāo)。因為拋物線上橫坐標(biāo)為的點(diǎn)到拋物線頂點(diǎn)的距離與其到準(zhǔn)線的距離相等，用坐標(biāo)表示距離相等，整理得，進(jìn)而求。（2）設(shè)， ，直線與拋物線方程聯(lián)立消x得，得出。由，得，即，然后用坐標(biāo)表示，可求的值。

試題解析：（1）拋物線上橫坐標(biāo)為的點(diǎn)的坐標(biāo)為，到拋物線頂點(diǎn)的距離的平方為，

∵拋物線上橫坐標(biāo)為的點(diǎn)到拋物線頂點(diǎn)的距離與其到準(zhǔn)線的距離相等，

∴，

∴，

拋物線方程為： .

（2）由題意，直線，代入得， ，

設(shè)， ，則，

∵，∴，即，

可得： ，

∴，

∴，

解得： .