Question

設S_n為等差數(shù)列{a_n}的前n項的和，已知a₁+a₂+a₆=15，S₇≥49．
（1）求a₃及S₅的值；   （2）求公差d的取值范圍；    （3）求證：S₈≥64．

Answer 1

分析：（1）設等差數(shù)列的等差為d，利用等差數(shù)列的通項公式化簡已知的等式，變形后再利用等差數(shù)列的通項公式得到a₃的值，然后利用等差數(shù)列的求和公式及等差數(shù)列的性質(zhì)把S₅變形，將a₃的值代入即可求出值；
（2）利用等差數(shù)列的求和公式及等差數(shù)列的性質(zhì)化簡已知的不等式，得出a₄大于等于7，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)及a₃的值列出關于d的不等式，求出不等式的解集得到d的范圍；
（3）把S₈利用等差數(shù)列的求和公式及等差數(shù)列的性質(zhì)化簡，再利用通項公式變形，得出關于a₄和d的式子，根據(jù)a₄和d的范圍，即可求出S₈的范圍，得證．

解答：解：（1）設等差數(shù)列{a_n}的公差為d，
∵a₁+a₂+a₆=a₁+（a₁+d）+（a₁+5d）=15，
∴3a₁+6d=15，即a₁+2d=5，
∴a₃=a₁+2d=5，
∴S₅=

5(a1+a5)

2

=5a₃=25；
（2）由S₇=

7(a1+a7)

2

=7a₄≥49，
得到a₄≥7，
即a₄=a₃+d=5+d≥7，
解得：d≥2；
（3）∵a₄≥7，d≥2，
∴S₈=

8(a1+a8)

2

=4（a₁+a₈）
=4（2a₁+7d）=4[2（a₁+3d）+d]
=4（2a₄+d）≥4（2×7+2）=64．
則S₈≥64．

點評：此題考查了等差數(shù)列的通項公式，求和公式以及等差數(shù)列的性質(zhì)，熟練掌握等差數(shù)列的性質(zhì)是解本題的關鍵．