Question

已知△ABC的頂點A、B在橢圓x²+3y²=4上,點C在直線l:y=x+2上,且AB∥l
（1）當AB邊通過坐標原點O時，求AB的長及△ABC的面積；
（2）當∠ABC=90°，且斜邊AC的長最大時，求AB所在直線的方程.

Answer 1

解：（1）因為AB∥l且AB通過原點（0，0），所以AB所在直線的方程為y=x
得A、B兩點坐標分別是A（1，1），B（-1，-1）。
 ∴|AB|= 
∵AB邊上的高h等于原點到直線的距離。
∴h=,S_△ABC=      
（2）設AB所在直線的方程為y=x+m
得4x²+6mx+3m²-4=0，
B兩點在橢圓上，所以 即，
B兩點坐標分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），
則
且y₁=x₁+m，y₂=x₂+m
∴|AB|=
  
∵BC的長等于點（0，m）到直線l的距離，
 
∴|AC|²=|AB|²+|BC|²=-m²-2m+10=11-（m+1）²
∴當m=-1時，AC邊最長。（顯然）        ，
AB所在直線的方程為y=x-1