Question

已知橢圓的焦距與短軸長相等，點A，B，C都在橢圓C上，且AB、AC分別過兩個焦點F₁、F₂．
（I）求橢圓C的離心率；
（II）若直線AB的斜率為2，且線段AB的垂直平分線經過，求橢圓方程．

Answer 1

【答案】分析：（I）根據橢圓的焦距與短軸長相等，可得b=c，從而可求橢圓C的離心率；
（II）設弦AB中點坐標（m，n），利用直線AB的斜率為2，且線段AB的垂直平分線經過，求出弦AB中點坐標，從而可求橢圓方程．
解答：解：（I）∵橢圓的焦距與短軸長相等，
∴2c=2b，∴b=c
∴=
∴；
（II）設弦AB中點坐標（m，n），則，
∴，
又，∴c=1，b=1，a²=2
∴橢圓方程為．
點評：本題考查橢圓的標準方程與幾何性質，考查學生的計算能力，屬于中檔題．