Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的焦距與短軸長相等，點(diǎn)A，B，C都在橢圓C上，且AB、AC分別過兩個(gè)焦點(diǎn)F₁、F₂．
（I）求橢圓C的離心率；
（II）若直線AB的斜率為2，且線段AB的垂直平分線經(jīng)過(-

4

9

，0)，求橢圓方程．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的焦距與短軸長相等，可得b=c，從而可求橢圓C的離心率；
（II）設(shè)弦AB中點(diǎn)坐標(biāo)（m，n），利用直線AB的斜率為2，且線段AB的垂直平分線經(jīng)過(-

4

9

，0)，求出弦AB中點(diǎn)坐標(biāo)，從而可求橢圓方程．

解答：解：（I）∵橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的焦距與短軸長相等，
∴2c=2b，∴b=c
∴a=

b2+c2

=

2

c
∴e=

c

a

=

2

2

；
（II）設(shè)弦AB中點(diǎn)坐標(biāo)（m，n），則

- 1 2 m n =2 - 1 2 = 0-n - 4 9 -m

，
∴m=-

8

9

，n=

2

9

，
又2=

2 9

- 8 9 +c

，∴c=1，b=1，a²=2
∴橢圓方程為

x2

2

+y2=1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．