Question

【題目】已知離心率為的橢圓的左頂點(diǎn)為，且橢圓經(jīng)過點(diǎn)，與坐標(biāo)軸不垂直的直線與橢圓交于兩點(diǎn).

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若直線和直線的斜率之積為，求證：直線過定點(diǎn)；

（3）若為橢圓上一點(diǎn)，且，求三角形的面積.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）.

【解析】

（1）根據(jù)離心率，將用表示，橢圓方程化為，點(diǎn)代入方程，即可求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)的方程為，（或），設(shè)，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消元得到，由，得，且，，，整理得，或（舍），滿足，可得直線過定點(diǎn)

（3），根據(jù)向量的關(guān)系可得，點(diǎn)到直線距離，即可求解；或?qū)⒏鶕?jù)橢圓的參數(shù)方程，設(shè)，，，求得點(diǎn)，又點(diǎn)在橢圓上，整理可得，將用表示，并化簡(jiǎn)為，即可求得結(jié)論.

（1）∵，∴，∴，又∵橢圓經(jīng)過點(diǎn)，

∴，∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；

（2）方法一：的方程為，設(shè)，

聯(lián)立方程組，化簡(jiǎn)得，

由解得，且，，

∴，

∴，

，

化簡(jiǎn)可得：，∴或（舍），滿足，

∴直線的方程為，

∴直線經(jīng)過定點(diǎn).

方法二：設(shè)的方程為，設(shè)，

聯(lián)立方程組，化簡(jiǎn)得，

解得：，且，，

∵，

∴，

∴，

化簡(jiǎn)可得：，∴或者（舍）滿足

∴直線經(jīng)過定點(diǎn)；

方法三：設(shè)，則有，∴，

設(shè)方程為，∴，

∴，∴，∴，

∴，∴，∴，

∴直線經(jīng)過定點(diǎn)；

（3）點(diǎn)到直線距離，

∴，∴；

方法二：設(shè)，

∵，∴點(diǎn)，

又∵點(diǎn)在橢圓上，∴，

∴.

，

∴.