Question

已知函數(shù)f（x）=x³-ax²-bx+a²，x∈R，a，b為常數(shù)．
（1）若函數(shù)f（x）在x=1處有極值10，求實(shí)數(shù)a，b的值；
（2）若a=0時，方程f（x）=2在x∈[-4，4]上恰有3個不相等的實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）對函數(shù)求導(dǎo)，由題意可得，f′（1）=0，f（1）=10，代入可求a，b
（2）（I）由題意f（x）-2=可得0，令g（x）=f（x）-2=x³-bx-2，對函數(shù)g（x）求導(dǎo)可得g’（x）=3x²-b，分類討論：分（�。┤鬮≤0，（ⅱ）b＞0，兩種情況討論g（x）在[-4，4]上的單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性可求b

解答：解：（1）∵函數(shù)f（x）=x³-ax²-bx+a²，
∴f′（x）=3x²-2ax-b，
∵函數(shù)f（x）在x=1處有極值10，
∴f（1）=1-a-b+a²=10
f′（1）=3-2a-b=0
解得a=-4，b=11
（2）由f（x）=2，得f（x）-2=0，令g（x）=f（x）-2=x³-bx-2，
則方程g（x）=0在x∈[-4，4]上恰有3個不相等的實(shí)數(shù)解．
∵g′（x）=3x²-b，
（�。┤鬮≤0，則g′（x）≥0恒成立，且函數(shù)g（x）不為常函數(shù)，
∴g（x）在區(qū)間[-4，4]上為增函數(shù)，不合題意，舍去． 
（ⅱ）若b＞0，則函數(shù)g（x）在區(qū)間（-∞，-

b 3

）上為增函數(shù)，在區(qū)間（-

b 3

，

b 3

）上為減函數(shù)，在區(qū)間（

b 3

，+∞）上為增函數(shù)，
由方程g（x）=0在x∈[-4，4]上恰有3個不相等的實(shí)數(shù)解，
可得

g(-4)≤0 g(- b 3 )＞0 g( b 3 )＜0 g(4)≥0

即

b≤ 33 2 b＞3 b＞0 b≤ 31 2

解得實(shí)數(shù)b的取值范圍為（3，

31

2

]

點(diǎn)評：本題主要考查了利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的極值與最值的求解及函數(shù)的恒成立與函數(shù)的最值的相互轉(zhuǎn)化關(guān)系的應(yīng)用．