Question

設(shè)有編號(hào)為1，2，3，4，5的五個(gè)球和編號(hào)為1，2，3，4，5的五個(gè)盒子，現(xiàn)將這五個(gè)球放入5個(gè)盒子內(nèi)
（1）只有一個(gè)盒子空著，共有多少種投放方法？
（2）沒(méi)有一個(gè)盒子空著，但球的編號(hào)與盒子編號(hào)不全相同，有多少種投放方法？
（3）每個(gè)盒子內(nèi)投放一球，并且至少有兩個(gè)球的編號(hào)與盒子編號(hào)是相同的，有多少種投放方法？

Answer 1

分析：（1）首先選定兩個(gè)不同的球，看作一個(gè)球，選法有C₅²種，再把“空”當(dāng)作一個(gè)球，共計(jì)5個(gè)“球”，投入5個(gè)盒子中，有A₅⁵種投放法
（2）沒(méi)有一個(gè)盒子空著，相當(dāng)于5個(gè)元素排列在5個(gè)位置上，有A₅⁵種，而球的編號(hào)與盒子編號(hào) 全相同只有1種．減去即可．
（3）先求不合要求的放法：恰有一球相同的放法，五個(gè)球的編號(hào)與盒子編號(hào)全不同的放法．

解答：解：首先選定兩個(gè)不同的球，看作一個(gè)球，選法有C₅²=10種，
再把“空”當(dāng)作一個(gè)球，共計(jì)5個(gè)“球”，投入5個(gè)盒子中，有A₅⁵=120種投放法．
∴共計(jì)10×120=1200種方法
（2）沒(méi)有一個(gè)盒子空著，相當(dāng)于5個(gè)元素排列在5個(gè)位置上，有A₅⁵種，而球的編號(hào)與盒子編號(hào)全相同只有1種，所以沒(méi)有一個(gè)盒子空著，但球的編號(hào)與盒子編號(hào)不全相同的投法有   A₅⁵-1=119種．        
（3）不滿足條件的情形：第一類，恰有一球相同的放法：C₅¹×9=45，
第二類，五個(gè)球的編號(hào)與盒子編號(hào)全不同的放法：5!(

1

2!

-

1

3!

+

1

4!

-

1

5!

)=44
∴滿足條件的放法數(shù)為：
A₅⁵-45-44=31（種）．

點(diǎn)評(píng)：本題（1）解題的關(guān)鍵是把兩個(gè)球先看成一個(gè)球，把沒(méi)要球的地方也堪稱一個(gè)球，再排列得到結(jié)果，（2）（3）用間接法求解便捷．