Question

（2012•茂名二模）在平面直角坐標(biāo)系上，設(shè)不等式組

x＞0 y≥0 y≤-2n(x-3)

（n∈N^*）表示的平面區(qū)域為D_n，記D_n內(nèi)的整點(diǎn)（橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）的個數(shù)為a_n．
（1）求出a₁，a₂，a₃的值（不要求寫過程）；
（2）證明數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列；
（3）令b_n=

1

anan+1

（n∈N^*），求b₁+b₂+…+b_n．

Answer 1

分析：（1）由x＞0，y≥0，-2n（x-3）≥y≥0得0＜x≤3，所以平面區(qū)域為D_n內(nèi)的整點(diǎn)為點(diǎn)（3，0）與在直線x=1和x=2上，從而可得結(jié)論；
（2）由于平面區(qū)域為D_n內(nèi)的整點(diǎn)為點(diǎn)（3，0）與在直線x=1和x=2上，可得直線y=-2n（x-3）與直線x=1和x=2交點(diǎn)縱坐標(biāo)分別為y₁=4n和y₂=2n，從而D_n內(nèi)在直線x=1和x=2上的整點(diǎn)個數(shù)分別為4n+1和2n+1，由此可數(shù)列的通項，進(jìn)而可得數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列；
（3）利用裂項法可求數(shù)列的和．

解答：（1）解：根據(jù)題意，由x＞0，y≥0，-2n（x-3）≥y≥0得0＜x≤3，所以平面區(qū)域為D_n內(nèi)的整點(diǎn)為點(diǎn)（3，0）與在直線x=1和x=2上，從而可得a₁=9，a₂=15，a₃=21                    …（3分）
（2）證明：由于平面區(qū)域為D_n內(nèi)的整點(diǎn)為點(diǎn)（3，0）與在直線x=1和x=2上，…（5分）
∴直線y=-2n（x-3）與直線x=1和x=2交點(diǎn)縱坐標(biāo)分別為y₁=4n和y₂=2n…（6分）
∴D_n內(nèi)在直線x=1和x=2上的整點(diǎn)個數(shù)分別為4n+1和2n+1，
∴a_n=4n+1+2n+1+1=6n+3              …（7分）
∴a_n+1-a_n=（6n+0）-（6n+3）=6                 …（8分）
∴數(shù)列{a_n}是以9為首項，6為公差等差數(shù)列..…（9分）
（3）解：∵b_n=

1

anan+1

=

1

6

[

1

6n+3

-

1

6(n+1)+3

]                …（10分）
∴b₁+b₂+…+b_n=

1

6

[(

1

6×1+3

-

1

6×2+3

)+（

1

6×2+3

-

1

6×3+3

）+…+

1

6n+3

-

1

6(n+1)+3

]
=

1

6

(

1

9

-

1

6n+9

)=

n

27(2n+3)

 …（14分）

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用，考查裂項法求數(shù)列的和，考查學(xué)生分析解決問題的能力．