Question

（2012•貴州模擬）我們把焦點(diǎn)相同，且離心率互為倒數(shù)的橢圓和雙曲線稱為一對(duì)“相關(guān)曲線”．已知F₁、F₂是一對(duì)相關(guān)曲線的焦點(diǎn)，P是它們?cè)诘谝幌笙薜慕稽c(diǎn)，當(dāng)∠F₁PF₂=60°時(shí)，這一對(duì)相關(guān)曲線中雙曲線的離心率是（　�。�

• A．

  3

• B．

  2

• C．

  2 3

  3

• D．2

Answer 1

分析：設(shè)F₁P=m，F(xiàn)₂P=n，F(xiàn)₁F₂=2c，由余弦定理4c²=m²+n²-mn，設(shè)a₁是橢圓的長半軸，a₁是雙曲線的實(shí)半軸，由橢圓及雙曲線定義，得m+n=2a₁，m-n=2a₁，由此能求出結(jié)果．

解答：解：設(shè)F₁P=m，F(xiàn)₂P=n，F(xiàn)₁F₂=2c，
由余弦定理得（2c）²=m²+n²-2mncos60°，
即4c²=m²+n²-mn，
設(shè)a₁是橢圓的實(shí)半軸，a₂是雙曲線的實(shí)半軸，
由橢圓及雙曲線定義，得m+n=2a₁，m-n=2a₂，
∴m=a₁+a₂，n=a₁-a₂，
將它們及離心率互為倒數(shù)關(guān)系代入前式得a₁²-4a₁a₂+a12=0，
a₁=3a₂，e₁•e₂=

c

a1

•

c

a2

=

( c a2 )2

3

=1，
解得e₂=

3

．
故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線和橢圓的簡單性質(zhì)，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意正確理解“相關(guān)曲線”的概念．