Question

（2012•貴州模擬）已知圓C₁的參數方程為

x=cosφ y=sinφ

（φ為參數），以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，圓C₂的極坐標方程為ρ=2cos(θ+

π

3

)．
（Ⅰ）將圓C₁的參數方程化為普通方程，將圓C₂的極坐標方程化為直角坐標方程；
（Ⅱ）圓C₁、C₂是否相交，若相交，請求出公共弦的長；若不相交，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）對于曲線C₁利用三角函數的平方關系式sin²φ+cos²φ=1即可；對于曲線C₂利用極坐標與直角坐標的互化公式即可化簡；
（Ⅱ）先求出兩圓的圓心距，與兩圓的半徑和差進行比較即可判斷出兩圓的位置關系；再將兩圓的方程聯(lián)立求出其交點坐標，利用兩點間的距離公式即可．

解答：解：（I）由

x=cosφ y=sinφ

得x²+y²=1即為圓C₁的普通方程．
又∵ρ=2cos（θ+

π

3

）=cosθ-

3

sinθ，
∴ρ²=ρcosθ-

3

ρsinθ．
∴x²+y²-x+

3

y=0，即(x-

1

2

)2+(y+

3

2

)2=1．
（II）圓心距d=

(0- 1 2 )2+(0+ 3 2 )2

=1＜2，得兩圓相交．
由兩圓的方程聯(lián)立得

x2+y2=1 (x- 1 2 )2+(y+ 3 2 )2=1

，解得

x=1 y=0

或

x=- 1 2 y=- 3 2

即A（1，0），B(-

1

2

，-

3

2

)，
∴|AB|=

(1+ 1 2 )2+(0+ 3 2 )2

=

3

．

點評：熟練掌握極坐標與直角坐標的互化公式、兩圓的位置關系判定方法及兩點間的距離公式是解題的關鍵．