Question

在△ABC 中，tan

C

2

=

1

2

，

AH

•

BC

=0，

AB

•(

CA

+

CB

)=0，H在BC邊上，則過(guò)點(diǎn)B以A、H為兩焦點(diǎn)的雙曲線的離心率為

5 + 1

2

．

Answer 1

分析：由已知中在△ABC中，tan

c

2

=

1

2

，

AH

•

BC

=0，

AB

•(

CA

+

CB

)=0，H在BC邊上，我們根據(jù)向量垂直的數(shù)量積為0，及二倍角的正切公式，易得△ABC是一個(gè)頂角正切為

4

3

的等腰三角形，AH為腰上高，由此設(shè)出各邊的長(zhǎng)度，然后根據(jù)雙曲線的性質(zhì)及雙曲線離心率的定義，即可求出答案．

解答：解：由已知中

AH

•

BC

=0可得：AH為BC邊上的高
又由

AB

•(

CA

+

CB

)=0可得：CA=CB
又由 tan

c

2

=

1

2

，可得tanC=

4

3

令A(yù)H=4X，則CH=3X，AC=BC=5X，BH=2X，AB=2

5

X
則過(guò)點(diǎn)B以A、H為兩焦點(diǎn)的雙曲線中
2a=2（

5

-1）x，2c=4x
則過(guò)點(diǎn)B以A、H為兩焦點(diǎn)的雙曲線的離心率e=

c

a

=

4X

2( 5 -1)X

=

5 +1

2

故答案為：

5 + 1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查平面向量數(shù)量積的運(yùn)算、導(dǎo)雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．