Question

已知橢圓C：

x2

25

+

y2

9

=1，直線l與橢圓C交于A，B兩不同的點．P為弦AB的中點．
（1）若直線l的斜率為

4

5

，求點P的軌跡方程．
（2）是否存在直線l，使得弦AB恰好被點(

4

3

，-

3

5

)平分？若存在，求出直線l的方程，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）設(shè)出P，A，B的坐標(biāo)，得到三點坐標(biāo)的關(guān)系，把A，B的坐標(biāo)代入橢圓方程后作差，代入直線l的斜率整理后即可得到答案；
（2）由題意可知，若直線l存在，則l不與坐標(biāo)軸垂直，同樣利用點差法，結(jié)合弦中點的坐標(biāo)求出斜率，則答案可求．

解答：解：（1）設(shè)P（x，y），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
∵P為弦AB的中點，∴x₁+x₂=2x，y₁+y₂=2y．
則

x12

25

+

y12

9

=1①

x22

25

+

y22

9

=1②
②-①得，

y2-y1

x2-x1

=-

9(x1+x2)

25(y1+y2)

．
∴-

9x

25y

=

4

5

，整理得：9x+20y=0（-4＜x＜4）
∴點P的軌跡方程為：9x+20y=0（-4＜x＜4）；
（2）存在，直線l的方程為：12x-15y-25=0
假設(shè)存在直線l，使得弦AB恰好被點(

4

3

，-

3

5

)平分．
則直線l的斜率存在切部位0，設(shè)斜率為k，
由（1）得k=

y2-y1

x2-x1

=-

9(x1+x2)

25(y1+y2)

=-

9× 8 3

25×(- 6 5 )

=

12

15

．
∴直線l的方程為：y+

3

5

=

12

15

(x-

4

3

)，整理得，12x-15y-25=0．

點評：本題考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系，訓(xùn)練了“點差法”，涉及中點弦問題．利用點差法能起到事半功倍的作用，該題是中檔題．