Question

如圖，在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，棱AD=DC=3，DD₁=4，過點D作D₁C的垂線交CC₁于點E，交D₁C于點F．
（Ⅰ）求證：A₁C⊥BE；
（Ⅱ）求二面角E-BD-C的大小；
（Ⅲ）求點BE到平面A₁D₁C所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（I）欲證A₁C⊥BE，而BE?平面EBD，可先證A₁C⊥平面BED，根據(jù)直線與平面垂直的判定定理可知只需證A₁C與平面BED內(nèi)兩相交直線垂直，連接AC交BD于點O，易證A₁C⊥DE，A₁C⊥DE，而BD∩DE=D，滿足定理所需條件；
（Ⅱ）連接EO，根據(jù)二面角平面角的定義可知∠EOC是二面角E-BD-C的平面角，在直角三角形EOC中求出此角即可；
（Ⅲ）連接A₁B，連接BF，根據(jù)線面所成角的定義可知∠EBF為BE與平面A₁D₁C所成的角，在直角三角形EFB中求出角的正弦值即可求出所求．

解答：解：（I）證明：連接AC交BD于點O，由已知ABCD是正方形，則AC⊥BD．
∵A₁A⊥底面ABCD，由三垂直線定理有A₁C⊥DE．
同理A₁C⊥DE．
∵BD∩DE=D，
∴A₁C⊥平面BED．∴BE?平面EBD，∴A₁C⊥BE．（4分）

（Ⅱ）連接EO．由EC⊥平面BCD，且AC⊥BD，知EO⊥BD．
∴∠EOC是二面角E-BD-C的平面角．
已知AD=DC=3，DD₁=4，
可求得D₁C=5，DF=

12

5

，∴CF=

9

5

．
則EF=

27

20

，∠C=

9

4

，OC=

3 2

4

．（7分）
在Rt△ECO中，tanEOC=

EC

OC

=

3 2

4

．
∴二面角E-BD-A的大小是arctan

2 2

4

．（9分）
（Ⅲ）連接A₁B，由A₁D₁∥BC知點B點在平面A₁D₁C內(nèi)，
由（Ⅰ）知A₁C⊥DE，又∵A₁D₁⊥DE，
且A₁C∩A₁D₁=A₁，∴DE⊥平面A₁D₁C，且F為垂足．
連接BF．∠EBF為BE與平面A₁D₁C所成的角．
∵EF=

27

20

，BE=

15

4

，（13分）
在Rt△FEB中，sinEBF=

EF

BE

=

27 20

15 4

=

9

25

．
∴BE與平面A₁D₁C所成角的正弦值為

9

25

．（14分）

點評：本題主要考查了線面垂直的性質(zhì)定理，以及二面角的度量和線面所成角的求解，同時考查了空間想象能力和計算能力與推理能力，轉(zhuǎn)化與劃歸的思想，屬于中檔題．