Question

已知拋物線C的方程為y²=2px（p＞0且p為常數(shù)），過焦點F作直線與拋物線交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
①求證：4x₁x₂=p²
②若拋物線C的準(zhǔn)線l與x軸交于N點且AB⊥AN，求|x₁-x₂|

Answer 1

分析：（1）結(jié)合要證明的結(jié)果可聯(lián)想到將A，B所在得直線方程與拋物線C的方程為y²=2px（p＞0且p為常數(shù)）聯(lián)立然后利用根與系數(shù)的關(guān)系即可得證，而根據(jù)題意F（

p

2

，0）故可利用點斜式寫出直線AB的方程但要分斜率存在與否進(jìn)行討論．
（2）根據(jù)題意易得N(-

p

2

，0)再根據(jù)AB⊥AN可得k_AB•k_AN=-1再結(jié)合y₁²=2px₁以及第一問的結(jié)論4x₁x₂=p²，化簡即可得解．

解答：解：（1）設(shè)直線AB的方程為y=k(x-

p

2

)（k≠0）
（當(dāng) k=0時，顯然不合題意）
聯(lián)立

y=k(x- p 2 ) y2=2px

⇒k2x2-(k2p+2p)x+

k2p2

4

=0
由韋達(dá)定理得：x1x2=

p2

4

，即4x₁x₂=p²
當(dāng)AB的斜率k不存在時，AB的方程為x=

p

2

此時x1=x2=

p

2

，4x₁x₂=p²也成立．
（2）拋物線y²=2px的準(zhǔn)線方程為x=-

p

2

，準(zhǔn)線與x軸交點N(-

p

2

，0)，A（x₁，y₁）（顯然x₁≠0）kAN=

y1

x1+ p 2

，kAB=kAF=

y1

x1- p 2

∵AB⊥AN∴

y1

x1+ p 2

•

y1

x1- p 2

=-1得y12=

p2

4

-x12
但y₁²=2px₁由①知：

p2

4

=x1x2，故有2px₁=x₁x₂-x₁²
又x₁≠0∴2p=x₂-x₁即有：|x₂-x₁|=2p

點評：本題主要是對直線與圓錐曲線的綜合問題的考查．解題的關(guān)鍵是第一問要對直線的斜率存在與否進(jìn)行討論而第二問要對AB⊥AN這一條件的常用運算技巧熟悉（即k_AB•k_AN=-1）在得出y12=

p2

4

-x12后結(jié)合要求的結(jié)果|x₁-x₂|故需利用點A在拋物線上以及第一問的結(jié)論再對上式代入化簡求值！