Question

橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的短軸長是常數，當兩準線間的距離取得最小值時，橢圓的離心率為（　　）

• A．

  1

  2

• B．

  2

  2

• C．

  1

  3

• D．

  3

  3

Answer 1

分析：先根據橢圓的方程得出橢圓的兩準線間的距離，再利用基本不等式求出當兩準線間的距離取得最小值時b，c的關系式，從而得到橢圓的離心率．

解答：解：∵兩準線間的距離為

2a2

c

=

2(b2+c2)

c

=2(

b2

c

+c)≥2×2

b2 c ×c

=4b，
當且僅當

b2

c

=c即c=b時取等號，
即c=b時兩準線間的距離取得最小值，
∴當兩準線間的距離取得最小值時，
橢圓的離心率為e=

c

a

=

c

b2+c2

=

b

b2+b2

=

2

2

，
故選B．

點評：本題考查基本不等式的應用和橢圓的簡單性質的應用，本題解題的關鍵是正確利用基本不等式來做出當c=b時兩準線間的距離取得最小值，本題是一個基礎題．