Question

如圖，橢圓

x2

a2

+

y2

b

=1（a＞b＞0）與過點(diǎn)A（2，0）B（0，1）的直線有且只有一個公共點(diǎn)T，且橢圓的離心率e=

3

2

．
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）設(shè)F₁、F₂分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，M為線段AF₁的中點(diǎn)，求證：∠ATM=∠AF₁T．

Answer 1

分析：（I）過點(diǎn)A、B的直線方程為

x

2

+y=1．

x2

a2

+

y2

b2

=1，因為(b2+

1

4

a2)x2-a2x2+a2-a2b2=0有惟一解，所以△=a²b²（a²+4b²-4）=0（ab≠0），故a²+4b²-4=0．由題意知a2=2，b2=

1

2

，故所求的橢圓方程為

x2

2

+2y2=1．
（II）由（I）得c=

6

2

，故F1(-

6

2

，0)，F2(

6

2

，0)，從而M(1+

6

4

，0)．

x2

2

+2y2=1，由y=-

1

2

x+1，解得x₁=x₂=1，所以T(1，

1

2

)．由此可推出∠ATM=∠AF₁T．

解答：解：（I）過點(diǎn)A、B的直線方程為

x

2

+y=1．

x2

a2

+

y2

b2

=1，
因為由題意得有惟一解，y=-

1

2

x+1
即(b2+

1

4

a2)x2-a2x2+a2-a2b2=0有惟一解，
所以△=a²b²（a²+4b²-4）=0（ab≠0），
故a²+4b²-4=0．
又因為e=

3

2

，即

a2-b2

a2

=

3

4

，
所以a²=4b²．
從而得a2=2，b2=

1

2

，
故所求的橢圓方程為

x2

2

+2y2=1．
（II）由（I）得c=

6

2

，
故F1(-

6

2

，0)，F2(

6

2

，0)，
從而M(1+

6

4

，0)．

x2

2

+2y2=1，
由y=-

1

2

x+1
解得x₁=x₂=1，
所以T(1，

1

2

)．
因為tan∠AF1T=

6

2

-1，
又tan∠TAM=

1

2

，tan∠TMF2=

2

6

，
得tan∠ATM=

2 6 - 1 2

1+ 1 6

=

6

2

-1，
因此∠ATM=∠AF₁T．

點(diǎn)評：本題主要考查直線與橢圓的位置關(guān)系、橢圓的幾何性質(zhì)，同時考查解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力．