Question

如圖，橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）過點P(1，

3

2

)，其左、右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，離心率e=

1

2

，M，N是橢圓右準線上的兩個動點，且

F1M

•

F2N

=0．
（1）求橢圓的方程；
（2）求MN的最小值；
（3）以MN為直徑的圓C是否過定點？請證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）因為：e=

c

a

=

1

2

，且過點P(1，

3

2

)，列出關(guān)于a，b的方程，解得a，b．最后寫出橢圓方程即可；
（2）設(shè)點M（4，y₁），N（4，y₂）寫出向量的坐標，利用向量的數(shù)量積得到y(tǒng)₁y₂=-15，又MN=|y2-y1|=|-

15

y1

-y1|=

15

|y1|

+|y1|≥2

15

，結(jié)合基本不等式即可求得MN的最小值；
（3）利用圓心C的坐標和半徑得出圓C的方程，再令y=0，得x²-8x+1=0從而得出圓C過定點．

解答：解：（1）∵e=

c

a

=

1

2

，且過點P(1，

3

2

)，
∴

1 a2 + 9 4b2 =1 a=2c a2=b2+c2

解得

a=2 b= 3

∴橢圓方程為

x2

4

+

y2

3

=1．（4分）
（2）設(shè)點M（4，y₁），N（4，y₂）則

F1M

=(5，y1)，

F2N

=(3，y2)，

F1M

•

F2N

=15+y1y2=0，
∴y₁y₂=-15，
又∵MN=|y2-y1|=|-

15

y1

-y1|=

15

|y1|

+|y1|≥2

15

，
∴MN的最小值為2

15

．
（3）圓心C的坐標為(4，

y1+y2

2

)，半徑r=

|y2-y1|

2

．
圓C的方程為(x-4)2+(y-

y1+y2

2

)2=

(y2-y1)2

4

，
整理得：x²+y²-8x-（y₁+y₂）y+16+y₁y₂=0．∵y₁y₂=-15，∴x²+y²-8x-（y₁+y₂）y+1=0
令y=0，得x²-8x+1=0，∴x=4±

15

．∴圓C過定點(4±

15

，0)．

點評：本小題主要考查橢圓的簡單性質(zhì)、圓與圓錐曲線的綜合等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．