Question

（14分）已知橢圓的中心為坐標原點，短軸長為2，一條準線方程為l：．

       ⑴ 求橢圓的標準方程；

⑵ 設O為坐標原點，F是橢圓的右焦點，點M是直線l上的動點，過點F作OM的垂線與以OM為直徑的圓交于點N,求證:線段ON的長為定值．

Answer 1

 解析：⑴∵橢圓C的短軸長為2，橢圓C的一條準線為l：，

       ∴不妨設橢圓C的方程為．（2分）

        ∴，（ 4分）      即．（5分）

        ∴橢圓C的方程為．（6分）

    ⑵ F（1，0），右準線為l：， 設，

     則直線FN的斜率為，直線ON的斜率為，（8分）

     ∵FN⊥OM，∴直線OM的斜率為，（9分）

    ∴直線OM的方程為：，點M的坐標為．（11分）

    ∴直線MN的斜率為．（12分）

    ∵MN⊥ON，∴，

    ∴，

    ∴，即．（13分）

    ∴為定值．（14分）