設各項均為正數(shù)的數(shù)列
的前
項和為
，且滿足
，
.
（1）求
的值；
（2）求數(shù)列的通項公式；
（3）證明：對一切正整數(shù)，有
.
（1）
；（2）
；（3）詳見解析.
解析試題分析：（1）將
代入方程
得到
，結(jié)合題中條件（數(shù)列的各項均為正數(shù)，得到
）求出
的值，從而得到的值；（2）由十字相乘法結(jié)合得到的表達式，然后在
的情況下，由
求出數(shù)列的表達式，并驗證是否滿足該表達式，從而得到數(shù)列的通項公式；（3）解法一是利用放縮法得到
，于是得到
，最后利用裂項求和法證明題中的不等式；解法二是保持
不放縮，在的條件下放縮為
，最后在和時利用放縮法結(jié)合裂項法證明相應的不等式.
（1）令得：
，即，
，
，
，即；
（2）由
，得
，
，
，從而
，
，
所以當時，
，
又
，
；
（3）解法一：當
時，
，
.
證法二：當時，
成立，
當時，
，
則
.
考點：本題以二次方程的形式以及與
的關(guān)系考查數(shù)列通項的求解，以及利用放縮法證明數(shù)列不等式的綜合問題，考查學生的計算能力與邏輯推理能力，屬于中等偏難題.
名校課堂系列答案科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題
設數(shù)列
的前
項和為
，對任意的正整數(shù)，都有
成立，記
.（1）（1）求數(shù)列與數(shù)列
的通項公式；
（2）設數(shù)列的前項和為
，是否存在正整數(shù)，使得
成立？若存在，找出一個正整數(shù)；若不存在，請說明理由．
（3）記
，設數(shù)列
的前項和為
，求證：對于
都有
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題
水土流失是我國西部大開發(fā)中最突出的問題，全國9100萬畝坡度為25°以上的坡耕地需退耕還林，其中西部占70%，2002年國家確定在西部地區(qū)退耕還林面積為515萬畝，以后每年退耕土地面積遞增12%.
(1)試問，從2002年起到哪一年西部地區(qū)基本上解決退耕還林問題？
(2)為支持退耕還林工作，國家財政補助農(nóng)民每畝300斤糧食，每斤糧食按0.7元計算，并且每畝退耕地每年補助20元，試問到西部地區(qū)基本解決退耕還林問題時，國家財政共需支付約多少億元？
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題
已知數(shù)列
的奇數(shù)項是首項為1的等差數(shù)列，偶數(shù)項是首項為2的等比數(shù)列.數(shù)列前
項和為
，且滿足
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）求數(shù)列前
項和
；
（3）在數(shù)列中，是否存在連續(xù)的三項
，按原來的順序成等差數(shù)列？若存在，求出所有滿足條件的正整數(shù)
的值；若不存在，說明理由.
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的前
項和
，則此數(shù)列的通項公式為 .
的各項均為正數(shù)，
是數(shù)列
．
的值．
是公差不為零的等差數(shù)列，
，且
成等比數(shù)列.
的前
項和
.
，則數(shù)列
的前19項和為 
，…
，…