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        1. 正四面體ABCD的外接球球心為O,E為BC的中點,則二面A-BO-E的大小為( 。
          A、
          π
          3
          B、
          π
          2
          C、
          3
          D、
          6
          分析:E為BC的中點,二面角A-BO-E即為二面角A-BO-C,過A作AF垂直O(jiān)B于F,連接CF,則∠AFC為二面A-BO-C的平面角,在△AFC中利用余弦定理去求.
          解答:解:如圖.H為底面正△ABC的中心.設(shè)棱長為1,則AH=
          3
          3
          ,DH=
          1-
          1
          3
          =
          6
          3
          ,E為BC的中點,二面角A-BO-E即為二面角A-BO-C
          設(shè)外接球半徑為R,則在△AOH中,
          R2=(
          6
          3
          -R)
          2
          +(
          3
          3
          )
          2
          解得R=OA=OB=OC=
          6
          4
          ,過A作AF垂直O(jiān)B于F,連接CF,∵△AOB≌△COB,∴CF⊥OB,∴∠AFC為二面A-BO-C的平面角
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          ∵S△AOB=
          1
          2
          ×AB×
          R2-
          1
          4
          =
          1
          2
          ×R×AF
          ,∴AF=
          R2-
          1
          4
          R
          =CF.
          2 (
          R2-
          1
          4
          R2
          )
           

          在AFC中,cos∠AFC=
          2AF2-AC2
          2AF2
          =
          2 (
          R2-
          1
          4
          R2
          )-1
          2(
          R2
          1
          4
          R2
          )
          =
          R2-
          1
          2
          2R2-
          1
          2
          =-
          1
          2

          ∴∠AFC=
          3

          故選C.
          點評:本題考查正四面體的性質(zhì)、二面角的意義所成的角.解決的關(guān)鍵是將空間角化為平面角,在三角形當(dāng)中去解決.
          練習(xí)冊系列答案
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