Question

（2013•嘉定區(qū)一模）若直線ax+by+4=0和圓x²+y²=4沒有公共點(diǎn)，則過點(diǎn)（a，b）的直線與橢圓

x2

9

+

y2

4

=1的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)為（　�。�

A．0

B．1

C．2

D．需根據(jù)a，b的取值來確定

Answer 1

分析：根據(jù)直線ax+by+4=0和圓x²+y²=4沒有公共點(diǎn)，可推斷點(diǎn)（a，b）是以原點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓內(nèi)的點(diǎn)，根據(jù)圓的方程和橢圓方程可知圓x²+y²=4內(nèi)切于橢圓，進(jìn)而可知點(diǎn)P是橢圓內(nèi)的點(diǎn)，進(jìn)而判斷可得答案．

解答：解：因?yàn)橹本�ax+by+4=0和圓x²+y²=4沒有公共點(diǎn)，
所以原點(diǎn)到直線ax+by+4=0的距離d=

4

a2+b2

＞2，
所以a²+b²＜4，
所以點(diǎn)P（a，b）是在以原點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓內(nèi)的點(diǎn)．
∵橢圓的長半軸 3，短半軸為 2
∴圓x²+y²=4內(nèi)切于橢圓
∴點(diǎn)P是橢圓內(nèi)的點(diǎn)
∴過點(diǎn)P（a，b）的一條直線與橢圓的公共點(diǎn)數(shù)為2．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與圓、直線與圓錐曲線的關(guān)系，以及點(diǎn)到直線的距離公式，解題的關(guān)鍵是確定點(diǎn)P是橢圓內(nèi)的點(diǎn)．