Question

已知離心率為的橢圓上的點(diǎn)到左焦點(diǎn)F的最長(zhǎng)距離為．
（1）求橢圓的方程；
（2）如圖，過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)F任作一條與兩坐標(biāo)軸都不垂直的弦AB，若點(diǎn)M在x軸上，且使得MF為△AMB的一條內(nèi)角平分線，則稱點(diǎn)M為該橢圓的“左特征點(diǎn)”，求橢圓的“左特征點(diǎn)”M的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用橢圓離心率為，其上的點(diǎn)到左焦點(diǎn)F的最長(zhǎng)距離為，可建立方程組，即可求得橢圓的方程；
（2）設(shè)M（m，0）為橢圓的左特征點(diǎn)，根據(jù)橢圓左焦點(diǎn)，設(shè)直線AB方程代入橢圓方程，由∠AMB被x軸平分，k_AM+k_BM=0，利用韋達(dá)定理，即可求得結(jié)論．
解答：解：（1）由題意知，∴a=2，c=，∴
∴橢圓的方程為；
（2）設(shè)M（m，0）為橢圓的左特征點(diǎn)，橢圓的左焦點(diǎn)F（-，0），
可設(shè)直線AB的方程為x=ky-（k≠0）
代入，得：（ky-）y²+4y2=4，即（k²+4）y²-ky-1=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）得y₁+y₂=，y₁y₂=-
∵∠AMB被x軸平分，k_AM+k_BM=0，即，
即y₁（ky₂-）+y₂（ky₁-）-（y₁+y₂）m=0
所以，2ky₁y₂-（y₁+y₂）（m+）=0
于是，2k×（）-×（m+）=0
∵k≠0，∴1+（m+）=0，即m=，∴M（，0）
點(diǎn)評(píng)：本題以新定義為載體主要考查了橢圓性質(zhì)的應(yīng)用，直線與橢圓相交關(guān)系的處理，要注意解題中直線AB得方程設(shè)為x=ky-2（k≠0）的好處在于避免討論直線的斜率是否存在．